Question

18．已知：AB為⊙0的直徑，CD、CF為⊙O的弦，AB⊥CD于點E，CF交AB于點G．
（1）如圖1，連接OD、OF、DG，求證：∠DOF=∠DGF；
（2）如圖2，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點H，點M在弧BC上，連接 CM、OM，若∠H=∠M，∠BGF=30°，求證：CM=CG；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接FM（FM＜CM），若FG=CE=4，求FM的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由直徑AB垂直于點CD，利用垂徑定理得到CE=DE，進而確定出CG=DG，利用等邊對等角，圓周角定理，及外角性質(zhì)，等量代換即可得證；
（2）如圖2，連接OC，過O作OK⊥CM，利用垂徑定理得到CK=MK，在直角三角形CEG中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到2CE=CG，由CH與圓相切，得到OC與CH垂直，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，OC=OC，得到三角形OCE與三角形OCK全等，利用全等三角形的對應邊相等得到CK=CE，等量代換即可得證；
（3）如圖3，過點O作ON⊥CF，則有CN=NF=$\frac{1}{2}$CF，由CG=2CE，求出CE長，利用銳角三角函數(shù)定義求出EG的長，進而求出ON與OG的長，以及OE的長，利用勾股定理求出CO的長，由三角形OEC與三角形OKC全等，得到對應角相等，進而求出RM的長，由FR-RM求出FM的長即可．

解答 （1）證明：如圖1，

∵AB為圓O的直徑，CD為圓O的弦，且AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴GC=GD，
∴∠C=∠GDC，
∴∠DGF=∠C+∠GDC=2∠C，
∵∠DOF=2∠C，
∴∠DOF=∠DGF；
（2）證明：如圖2，連接OC，過O作OK⊥CM，則有CK=KM=$\frac{1}{2}$CM，

在Rt△CEG中，∠CGE=∠BGF=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CG，
∵CH與圓O相切，
∴OC⊥CH，
∴∠HCE+∠ECO=90°，
∵∠H+∠HCE=∠CEO=90°，
∴∠H=∠ECO=∠M，
∵OM=OC，
∴∠M=∠OCM=∠ECO，
∵OC=OC，∠OKC=∠OEC=90°，
∴△OKC≌△OEC，
∴CK=CE，
∴CM=CG；
（3）解：如圖3，過點O作ON⊥CF，則有CN=NF=$\frac{1}{2}$CF，

∵FG=CE=4，
∴CG=2CE=8=CM，
在Rt△CEG中，tan∠CGE=$\frac{CE}{EG}$，即tan30°=$\frac{4}{EG}$，
∴EG=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ONG中，NG=CG-CN=8-$\frac{1}{2}$×（8+4）=2，
∴ON=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△CEO中，CO=$\sqrt{C{E}^{2}+E{O}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$，
∴sin∠COE=$\frac{CE}{CO}$=$\frac{4}{\frac{4\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵OC=OM，OK⊥CM，
∴∠COK=$\frac{1}{2}$∠COM=∠F，
∵△OEC≌△OKC，
∴∠COE=∠COK=∠F，
過C作CR⊥FM，在Rt△CRF中，sinF=$\frac{CR}{CF}$=$\frac{CR}{12}$，
∵sin∠COE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴CR=$\frac{12\sqrt{21}}{7}$，
∴FR=$\sqrt{C{F}^{2}-C{R}^{2}}$=$\frac{24\sqrt{7}}{7}$，
在Rt△CRM中，RM=$\sqrt{C{M}^{2}-C{R}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
則FM=FR-RM=$\frac{20\sqrt{7}}{7}$．

點評 此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．