Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為4，A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作⊙A的切線BC交x軸于B．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若一拋物線與x軸的交點(diǎn)恰為⊙A與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)在直線上y=

3

3

x+2上，求此拋物線的解析式；
（3）試判斷點(diǎn)C是否在拋物線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由Rt△AOC∽R(shí)t△COB?

AO

OC

=

OC

OB

，求得OB的長(zhǎng)，即可得出確定B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)B、C坐標(biāo)用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式．
（2）根據(jù)圓心的坐標(biāo)及圓的半徑不難得出E、F的坐標(biāo)．根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱(chēng)性可知：拋物線頂點(diǎn)和圓心的橫坐標(biāo)必相等，據(jù)此可根據(jù)直線BC的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．然后根據(jù)E、F及頂點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
（3）在（1）中已經(jīng)求得C點(diǎn)坐標(biāo)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可

解答：解：（1）連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=2

3

．
又∵Rt△AOC∽R(shí)t△COB，
∴

AO

OC

=

OC

OB

．
∴OB=6．
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2

3

），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-6，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
可求得直線BC的解析式為y=

3

3

x+2

3

．

（2）由題意得，⊙A與x軸的交點(diǎn)分別為E（-2，0）、F（6，0），
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)點(diǎn)A為直線x=2．
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=

3

3

x+2上，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

2 3

3

+2）．
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+（

2 3

3

+2）．
∵拋物線過(guò)點(diǎn)E（-2，0），
∴0=a（-2-2）²+

2 3

3

+2．
解得a=-

3

24

-

1

8

．
∴拋物線的解析式為y=（-

3

24

-

1

8

）（x-2）²+

2 3

3

+2．
即y=-

3+ 3

24

x2 +

3+ 3

6

x+

3+ 3

2

．

（3）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2

3

）．
拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3 +3

2

），
∴點(diǎn)C不在拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)綜合起來(lái)運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．