【題目】如圖,已知拋物線(k為常數(shù),且k>0)與x軸的交點為A、B,與y軸的交點為C,經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一個交點為D.
(1)若點D的橫坐標為x= -4,求這個一次函數(shù)與拋物線的解析式;
(2)若直線m平行于該拋物線的對稱軸,并且可以在線段AB間左右移動,它與直線BD和拋物線分別交于點E、F,求當m移動到什么位置時,EF的值最大,最大值是多少?
(3)問原拋物線在第一象限是否存在點P,使得△APB∽△ABC?若存在,請求出這時k的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) (2) 最大值是4(3)存在
【解析】分析:(1)先解方程k(x+2)(x﹣4)=0可得A(﹣2,0),B(4,0),再把B點坐標代入y=﹣x+b中求出得b=2,則可得到一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2,接著利用一次函數(shù)解析式確定D點坐標,然后把D點坐標代入代入y=k(x+2)(x﹣4)中求出k的值即可得到得拋物線解析式;
(2)利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,可設(shè)F(t,t2﹣t﹣2),則E(t,﹣t+2),﹣2≤t≤4,于是得到EF=﹣t+2﹣(t2﹣t﹣2)=﹣t2+4,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解;
(3)作PH⊥x軸于H,如圖,先表示出C點坐標為(0,﹣8k),設(shè)P[n,k(n+2)(n﹣4)],根據(jù)相似三角形的判定方法,當∠PAB=∠CAB,AP:AB=AB:AC時,△APB∽△ABC;再根據(jù)正切定義.在Rt△APH中有tan∠PAH=.在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k,則=4k,解得n=8,于是得到P(8,40k),接著利用勾股定理計算出AP=10,AC=2,然后利用AP:AB=AB:AC得到102=62,解得k1=,k2=﹣(舍去),于是可確定P點坐標.
詳解:(1)當y=0時,k(x+2)(x﹣4)=0,解得:x1=﹣2,x2=4,則A(﹣2,0),B(4,0),把B(4,0)代入y=﹣x+b得:﹣2+b=0,解得:b=2,所以一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2,當x=﹣4時,y=﹣x+2=4,則D點坐標為(4,4),把D(﹣4,4)代入y=k(x+2)(x﹣4)得:k(﹣2)(﹣8)=4,解得:k=,所以拋物線解析式為y=(x+2)(x﹣4),即y=x2﹣x﹣2;
(2)設(shè)F(t,t2﹣t﹣2),則E(t,﹣t+2),﹣2≤t≤4,所以EF=﹣t+2﹣(t2﹣t﹣2)=﹣t2+4,所以當t=
(3)存在.
作PH⊥x軸于H,如圖,當x=0時,y=k(x+2)(x﹣4)=﹣8k,則C(0,﹣8k),設(shè)P[n,k(n+2)(n﹣4)],當∠PAB=∠CAB,AP:AB=AB:AC時,△APB∽△ABC;
在Rt△APH中,tan∠PAH=.在Rt△OAC中,tan∠OAC==4k,∴=4k,解得:n=8,則P(8,40k),∴AP===10,而AC===2.∵AP:AB=AB:AC,∴APAC=AB2,即102=62,∴5(16k2+1)=9,解得:k1=,k2=﹣(舍去),∴k=4,P點坐標為(8,4).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如下圖所示,且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數(shù)根,有下列結(jié)論:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張老師打算在小明和小白兩位同學(xué)之間選一位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽,他收集了小明、小白近期10次數(shù)學(xué)考試成績,并繪制了折線統(tǒng)計圖(如圖所示)
項目 | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 平均數(shù) | 方差 | 最高分 |
小明 | 85 | 85 | |||
小白 | 70,100 | 85 | 100 |
(1)根據(jù)折線統(tǒng)計圖,張老師繪制了不完整的統(tǒng)計表,請你補充完整統(tǒng)計表;
(2)你認為張老師會選擇哪位同學(xué)參加比賽?并說明你的理由
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【題目】拋物線的頂點為D(-1,2),與x軸的一個交點A在點(-3,0)和(-2,0)之間,其部分圖象如圖,則以下結(jié)論:①;②當x>-l時,y隨x增大而減;③a+b+c<0;④若方程沒有實數(shù)根,則m>2. 其中正確的結(jié)論有________________.
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【題目】如圖,大樓底右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°(點B,C,E在同一水平直線上). 已知AB=80m,DE=10m,求障礙物B,C兩點間的距離.(結(jié)果精確到0.1m)
(參考數(shù)據(jù): ,)
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【題目】小亮家與姥姥家相距24km. 小亮8:00從家出發(fā),騎自行車去姥姥家,媽媽8:30從家出發(fā),乘車沿相同路線去姥姥家. 在同一直角坐標系中,小亮和媽媽的行進路程S(km)與北京時間t(時)的函數(shù)圖象如圖所示. 根據(jù)圖象得到下列結(jié)論,其中錯誤的是( )
A. 小亮騎自行車的平均速度是12km/h
B. 媽媽比小亮提前0.5小時到達姥姥家
C. 媽媽在距家12km處追上小亮
D. 9:30媽媽追上小亮
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【題目】依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù).新稅法規(guī)定:居民個人的綜合所得,以每一納稅月收入減去費用5000元以及專項扣除、專項附加扣除和依法確定的其它扣除后的余額,為個人應(yīng)納稅所得額.已知李先生某月的個人應(yīng)納稅所得額比張先生的多1500元,個人所得稅稅率相同情況下,李先生的個人所得稅稅額為76.5元,而張先生的個人所得稅稅額為31.5元.求李先生和張先生應(yīng)納稅所得額分別為多少元?
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【題目】如圖,,,點B在x軸上,且.
求點B的坐標;
求的面積;
在y軸上是否存在P,使以A、B、P三點為頂點的三角形的面積為10?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】閱讀材料:在數(shù)軸上點、分別表示數(shù)、,則、兩點之間的距離.
請回答下列問題:
()數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是__________.數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點之間的距離表示為__________.數(shù)軸上表示數(shù)__________和__________的兩點之間的距離表示為.
()七年級研究性學(xué)習(xí)小組在數(shù)學(xué)老師指導(dǎo)下,對式子進行探究:.
①當表示數(shù)的點在與之間移動時,的值總是一個固定的值為:__________.(直接寫出結(jié)果)
②要使,數(shù)軸上滿足條件的點表示的數(shù)字是:__________(直接寫出結(jié)果).
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