【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AD∥BC,BC=3,邊AD在x軸上,點C在y軸上,點D坐標為(2,0),直線l:y=-2x-10經(jīng)過點A、B.
(1)求四邊形ABCD的面積;
(2)將直線l向右平移,平移后的直線與x軸交于點P,與直線BC交于點Q,設(shè)AP=t.直線l在平移過程中,是否存在t的值,使△PDQ為等腰三角形?若存在,求出t的值,若不存在,請說明理由;
(3)將直線l繞點A旋轉(zhuǎn),當直線l將四邊形ABCD的面積分為1:3兩部分時,請直接寫出l與BC的交點M的坐標.
【答案】(1)20;(2)存在,t=2、3或7±2 ;(3)M1(-,-4),M2(,-4) .
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式得到OA=5,求得AD=7,得到OC=4,于是得到結(jié)論;(2)需要分類討論,要使△PDQ為等腰三角形,需分三種情況進行計算驗證;(3)直線l將四邊形ABCD的面積分為1:3兩部分時,也是需要分類討論,即直線l左側(cè)部分面積:右側(cè)部分面積=1:3和線l右側(cè)部分面積:左側(cè)部分面積=1:3,再結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì),三角形面積計算即可解答.
解:(1)在y=-2x-10中,當y=0時,x=-5,
∴A(-5,0),
∴OA=5,
∴AD=7,
把x=-3代入y=-2x-10得,y=-4,
∴OC=4,
∴四邊形ABCD的面積=(3+7)×4=20;
故答案為:20;
(2)存在,理由如下:
∵四邊形ABQP是平行四邊形,∴PQ2=AB2=42+22=20,PD2=(7-t)2,DQ2=42+(5-t)2,
①當PQ2= PD2時,即20=(7-t)2,
解得:t1=7+2 , t2=7-2;
②當PQ2= DQ2時,即20=42+(5-t)2,
解得:t1=7(∵AD=7,∴t1=7時,P,D點重合,不符合題意,舍去) , t2=3;
③當PD2= DQ2時,即(7-t)2=42+(5-t)2,
解得:t=2,
綜上所述:當t=2,3或7±2 時,△PDQ為等腰三角形;
(3)①如圖:當點M在線段BC上時,即直線l左側(cè)部分面積:右側(cè)部分面積=1:3,
∴S△ABM=S四邊形ABCD=5 ,∵OC=4,∴BM上的高hBM=4,
∴S△ABM=×BM×hBM=5,即×BM×4=5,解得BM=,
∴CM=BC-BM=3-=,
又∵BC∥x軸,C(0,-4),M點在第三象限,
∴M點的坐標為M1(- ,-4);
②如圖:∵AD=7,OC=4,∴△ACD的面積=7×4÷2=14>5,
∴當直線l右側(cè)部分面積:左側(cè)部分面積=1:3時,點M就在點C的右側(cè),設(shè)此時AM與CD的交點為點N,△AND中AD邊的高為hAD,△CNM中CM邊的高為hCM,
此時:S△AND=×AD×hAD=5,即×7×hAD=5,解得:hAD=,
∵AD∥CM,AD=7,OC=4, CM上的高hCM =4- =, ∴△AND∽△MNC,
∴AD:CM= hAD: hCM,即:7:CM=:,解得:CM=,
∴M點的坐標為M1( ,-4);
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【題目】(6分)某海域有A,B兩個港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達位于B港口南偏東75°方向的C處,求該船與B港口之間的距離即CB的長(結(jié)果保留根號).
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)在對稱軸上是否存在一點M,使△ANM的周長最。舸嬖,請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC和△ADE均為等腰直角三角形,連接BE,點F、G分別為AD、AC的中點,連接FG.在△ADE繞A旋轉(zhuǎn)的過程中,當B、D、E三點共線時,AB=,AD=1,則線段FG的長為___.
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【題目】山地自行車越來越受到中學生的喜愛,各種品牌相繼投放市場,某車行經(jīng)營的A型車去年銷售總額為5萬元,今年每輛銷售價比去年降低400元,若賣出的數(shù)量相同,銷售總額將比去年減少20%.
(1)今年A型車每輛售價多少元?(用列方程的方法解答)
(2)該車行計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛,且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍,應如何進貨才能使這批車獲利最多?
A,B兩種型號車的進貨和銷售價格如下表:
A型車 | B型車 | |
進貨價格(元) | 1100 | 1400 |
銷售價格(元) | 今年的銷售價格 | 2000 |
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【題目】如圖1,AB為半圓O的直徑,D為BA的延長線上一點,DC為半圓O的切線,切點為C.
(1)求證:∠ACD=∠B;
(2)如圖2,∠BDC的平分線分別交AC,BC于點E,F(xiàn);
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l的函數(shù)表達式為y=x,點O1的坐標為(1,0),以O1為圓心,O1O為半徑畫半圓,交直線l于點P1,交x軸正半軸于點O2,由弦P1O2和圍成的弓形面積記為S1,以O2為圓心,O2O為半徑畫圓,交直線l于點P2,交x軸正半軸于點O3,由弦P2O3和圍成的弓形面積記為S2,以O3為圓心,O3O為半徑畫圓,交直線l于點P3,交x軸正半軸于點O4,由弦P3O4和圍成的弓形面積記為S3;…按此做法進行下去,其中S2018的面積為__________.
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【題目】如圖,已知AB是半圓O的直徑,OC⊥AB交半圓于點C,D是射線OC上一點,連結(jié)AD交半圓O于點E,連結(jié)BE,CE.
(1)求證:EC平分∠BED.
(2)當EB=ED時,求證:AE=CE.
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