Question

【題目】（2017江蘇省泰州市，第25題，12分）閱讀理解：

如圖①，圖形l外一點P與圖形l上各點連接的所有線段中，若線段PA1最短，則線段PA1的長度稱為點P到圖形l的距離．

例如：圖②中，線段P1A的長度是點P1到線段AB的距離；線段P2H的長度是點P2到線段AB的距離．

解決問題：

如圖③，平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為（8，4），（12，7），點P從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向x軸正方向運動了t秒．

（1）當t=4時，求點P到線段AB的距離；

（2）t為何值時，點P到線段AB的距離為5？

（3）t滿足什么條件時，點P到線段AB的距離不超過6？（直接寫出此小題的結果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=5或t=11；（3）8﹣≤t≤．

【解析】試題分析：（1）作AC⊥x軸，由PC=4、AC=4，根據(jù)勾股定理求解可得；

（2）作BD∥x軸，分點P在AC左側和右側兩種情況求解，P位于AC左側時，根據(jù)勾股定理即可得；P位于AC右側時，作AP2⊥AB，交x軸于點P2，證△ACP2≌△BEA得AP2=BA=5，從而知P2C=AE=3，繼而可得答案；

（3）分點P在AC左側和右側兩種情況求解，P位于AC左側時，根據(jù)勾股定理即可得；點P位于AC右側且P3M=6時，作P2N⊥P3M于點N，知四邊形AP2NM是矩形，證△ACP2∽△P2NP3得，求得P2P3的長即可得出答案．

試題解析：解：（1）如圖1，作AC⊥x軸于點C，則AC=4、OC=8，當t=4時，OP=4，∴PC=4，∴點P到線段AB的距離PA===；

（2）如圖2，過點B作BD∥x軸，交y軸于點D．

①當點P位于AC左側時，∵AC=4、P1A=5，∴P1C= ==3，∴OP1=5，即t=5；

②當點P位于AC右側時，過點A作AP2⊥AB，交x軸于點P2，∴∠CAP2+∠EAB=90°，∵BD∥x軸、AC⊥x軸，∴CE⊥BD，∴∠ACP2=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠P2AC，在△ACP2和△BEA中，∵∠ACP2=∠BEA=90°，AE=BE，∠P2AC=∠ABE，∴△ACP2≌△BEA（ASA），∴AP2=BA= = =5，而此時P2C=AE=3，∴OP2=11，即t=11；

綜上所述：t=5或t=11．

（3）如圖3，①當點P位于AC左側，且AP3=6時，則P3C===，∴OP3=OC﹣P3C=8﹣；

②當點P位于AC右側，且P3M=6時，過點P2作P2N⊥P3M于點N，則四邊形AP2NM是矩形，∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，∴，即，∴P2P3=，∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=，∴當8﹣≤t≤時，點P到線段AB的距離不超過6．