Question

【題目】已知如圖，矩形OABC放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），點(diǎn)D是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OD，作點(diǎn)C關(guān)于直線OD的對稱點(diǎn)C′．

（1）若點(diǎn)C、C′、A在一直線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)C′到矩形兩對邊所在直線距離之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)；

（3）若連接BC′，則線段BC′的長度范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）D（，3）；（2）點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（，2）或（2，1）；（3）3﹣3≤BC′≤6．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)易證∠DCE=∠COD，再求得CD的長，即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)C′到矩形OA邊與BC邊的距離之比為1：2和點(diǎn)C′到矩形BC邊與OA邊的距離之比為2：1兩種情況求點(diǎn)C′的坐標(biāo)即可；（3）由OC′=OC，可知點(diǎn)C′在以O為圓心，以3為半徑的弧上（如圖）．當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C或點(diǎn)B重合時(shí)，BC′有最大值．當(dāng)點(diǎn)C′在直線OB上時(shí)，BC′有最小值．由此即可求得BC的取值范圍.

試題解析：

（1）如下圖所示：

∵點(diǎn)C、C′、A在一直線上，

∴tan∠BCC′==．

∵點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于OD對稱，

∴OD⊥CC′．

∴∠DCE+∠CDE=90°．

∵∠CDE+∠COD=90°．

∴∠DCE=∠COD．

∴tan∠COD==，

∴CD=OC=．

∴D（，3）．

（2）設(shè)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（x，y）．

由軸對稱的性質(zhì)可知OC=OC′=3．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知x2+y2=9．

點(diǎn)C′到矩形兩對邊所在直線距離之比為1：2時(shí)，

C′的縱坐標(biāo)為2或1．

將y=2代入x2+y2=9得：x2+4=9，解得：x=或x=﹣（舍去），

∴C′（，2）．

將y=1代入x2+y2=9得：x2+1=9，解得：x=2或x=﹣2（舍去），

∴C′（2，1）．

綜上所述，點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（，2）或（2，1）．

（3）∵OC′=OC，

∴點(diǎn)C′在以O為圓心，以3為半徑的弧上．

如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C或點(diǎn)B重合時(shí)，BC′有最大值，最大值=BD=6．

當(dāng)點(diǎn)C′在直線OB上時(shí)，BC′有最小值．

在△ABO中，依據(jù)勾股定理可知OB==3．

∵OC′=OC=3，

∴BC′的最小值=BO﹣OC′=3﹣3．

∴線段BC′的長度范圍是3﹣3≤BC′≤6．

故答案為：3﹣3≤BC′≤6．