Question

【題目】如圖，點 O 是△ABC 的邊 AB 上一點，以 OB 為半徑的⊙O 交 BC 于點 D，過點 D 的切線交 AC 于點 E，且 DE⊥AC．

(1)證明：AB＝AC；

(2)設 AB＝cm，BC＝2cm，當點 O 在 AB 上移動到使⊙O 與邊 AC 所在直線相切時， 求⊙O 的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）首先證明OD∥AC，推出∠ODB=∠C，由OB=OD，推出∠B=∠ODB，即可證明∠B=∠C；

（2）設AC與⊙O相切于點F，連接OF，作AH⊥BC于H，設半徑為r．解直角三角形求出AH，由tanC==2，推出EC=，推出AF=-r-=-r，在Rt△AOF中，根據(jù)OA2=AF2+OF2，構建方程即可解決問題.

（1）連接OD，

∵DE是⊙O的切線，

∵DE⊥OD，

∵AC⊥DE，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）設AC與⊙O相切于點F，連接OF，作AH⊥BC于H，設半徑為r，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=1，

∴AH==2，

∴tan∠C==2，

∵∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°，

∴四邊形ODEF是矩形，

∵OD=OF，

∴四邊形ODEF是正方形，

∴EF=DE=r，

∵tanC==2，

∴EC=，

∴AF=﹣r﹣r=﹣r，

在Rt△AOF中，∵OA2=AF2+OF2，

∴（﹣r）2=r2+（﹣r）2，

解得r=．