某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等邊三角形,固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí),求此時(shí)△EMN的面積;
(2)設(shè)MN與AB之間的距離為米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù);
(3)請(qǐng)你探究△EMN的面積S(平方米)有無最大值,若有,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若沒有,請(qǐng)說明理由.
解:(1)由題意,當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí),MN應(yīng)位于DC下方,且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米.
所以,S△EMN= =0.5(平方米).
即△EMN的面積為0.5平方米.
(2)①如圖1所示,當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng),
即0<x≤1時(shí),
△EMN的面積S= 1/2AB.X=x ;
②如圖2所示,當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng),
即1<x< +1時(shí),
如圖,連接EG,交CD于點(diǎn)F,交MN于點(diǎn)H,
∵ E為AB中點(diǎn),
∴ F為CD中點(diǎn),GF⊥CD,且FG= .
又∵ MN∥CD,
∴ △MNG∽△DCG.
,即
故△EMN的面積S=
=;
綜合可得:
(3)①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí),,所以有;
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí),S=.
因而,當(dāng)(米)時(shí),S得到最大值,
最大值S===(平方米).
∵ ,
∴ S有最大值,最大值為平方米.
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