Question

（2009•萊蕪）某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿，△EMN是隨MN滑動(dòng)而變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)）．
（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí)△EMN的面積．
（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)．
（3）請(qǐng)你探究△EMN的面積S（平方米）有無(wú)最大值？若有，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN位于DC下方，此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△EMN的面積；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式直接得出△EMN的面積S與x的函數(shù)解析式；②當(dāng)1＜x＜1+

3

時(shí)，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，先求FG，再證△MNG∽△DCG，繼而得出△EMN的面積S與x的函數(shù)解析式；
（3）先分兩種情況討論：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，S=x，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答；②當(dāng)1＜x＜1+

3

時(shí)，S=-

3

3

x²+（1+

3

3

）x．由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在對(duì)稱軸時(shí)取得最大值．再比較即可．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米．
則S_△EMN=

1

2

×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面積為0.5平方米；

（2）分兩種情況：
①如圖1所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即0＜x≤1時(shí)，
△EMN的面積S=

1

2

×2×x=x；
②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即1＜x＜1+

3

時(shí)，
如圖，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵M(jìn)N∥CD，
∴△MNG∽△DCG，

MN

DC

=

GH

GF

，
∴MN=

2( 3 +1-x)

3

故△EMN的面積S=

1

2

×

2( 3 +1-x)

3

×x=-

3

3

x²+（1+

3

3

）x．
綜合可得：S=

x(0＜x≤1) - 3 3 x2+(1+ 3 3 )x(1＜x＜1+ 3 )

；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即0＜x≤1時(shí)，S=x，
∵S隨x的增大而增大，
又∵0＜x≤1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值1；
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即1＜x＜1+

3

時(shí)，S=-

3

3

x²+（1+

3

3

）x，
∴當(dāng)x=-

-(1+ 3 3 )

2×(- 3 3 )

=

1+ 3

2

時(shí)，S有最大值，此時(shí)最大值S=

0-(1+ 3 3 )2

4×(- 3 3 )

=

1

2

+

3

3

．
∵

1

2

+

3

3

＞1，
∴S有最大值，最大值為（

1

2

+

3

3

）平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數(shù)求最值等解題方法．