Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－2x+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點A、B的坐標分別為(－1，0)，(3，0)，點D為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與直線BC相交于點E.

（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；

（2）點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當△PBC的面積最大時，請求出P點的坐標和△PBC的最大面積；

（3）點Q是線段BD上的一動點，將△DEQ沿邊EQ翻折得到△，是否存在點Q使得△與△BEQ的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，請直接寫出BQ的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3，C(0，－3)； （2）△PBC的最大面積為， P；（3）或或.

【解析】

（1）將點A(－1，0)、B(3，0)代入拋物線解析式可求出a，c的值，得到拋物線的解析式，令x=0可求出c的坐標；

（2）直線BC解析式為：y=x-3，設(shè)與直線BC平行且在BC下方的一條直線l解析式為y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，△PBC的面積最大，聯(lián)立解析式，求出當時x的值，即為P點橫坐標，再根據(jù)分割面積法求出此時；

（3）根據(jù)（1）中解析式可得：D(1，-4)，直線x=1交x軸于F，BD=，然后分情況討論，分別求出BQ的長即可.

解：（1）將點A(－1，0)、B(3，0)代入拋物線解析式y＝ax2－2x+c可得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3，

當x=0時，y=-3，所以C的坐標為C（0，-3）；

（2）∵B(3，0)，C（0，-3），可得直線BC解析式為：y=x-3，

設(shè)與直線BC平行且在BC下方的一條直線l解析式為y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，△PBC的面積最大，

聯(lián)立解析式，

可得，

整理得：，

∴，解得：b=，

即，解得：x=，將x=代入拋物線解析式可得，

所以P，

如圖1，過點P作PM⊥y軸于M，∴M(0,)，

∴

∴△PBC的最大面積為

（3）根據(jù)（1）中解析式可得：D(1，-4)，直線x=1交x軸于F，BD=，

分類討論：

①如圖3，EQ⊥DB于Q，△DEQ沿邊EQ翻折得到△D’EQ，

∵∠EDQ＝∠BDF，

∴Rt△DEQ∽Rt△DBF，

∴，即，

解得DQ＝，

∴BQ＝BDDQ＝

②如圖4， ED′⊥BD于H，

∵∠EDH＝∠BDF，

∴Rt△DEH∽Rt△DBF，

∴，即，

解得DH＝，EH＝，

在Rt△QHD′中，設(shè)QH＝x，D′Q＝DQ＝DHHQ＝

，D′H＝D′EEH＝DEEH＝2，

∴，解得x＝1，

∴BQ＝BDDQ＝BD（DHHQ）＝BDDH＋HQ＝,；

③如圖5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，易得EI＝，BI＝，

∵△DEQ沿邊EQ翻折得到△D′EQ，

∴∠EQD＝∠EQD′，

∴EG＝EI＝，

∵BE＝，

∴BG＝BEEG＝

∵∠GBQ＝∠IBE，

∴△BQG∽△BEI，

∴，即

∴BQ＝

綜上所述，當BQ為或或時，將△DEQ沿邊EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ與△BEQ的重疊部分圖形為直角三角形．