Question

【題目】點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與A，B重合)，連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，連接BE，則∠CBE等于( )

A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°

Answer 1

【答案】C

【解析】

過(guò)E作AB的延長(zhǎng)線AF的垂線，垂足為F，可得出∠F為直角，先利用AAS證明△ADP≌△PEF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的邊長(zhǎng)相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代換可得出EF=BF，即三角形BEF為等腰直角三角形，可得出∠EBF為45°，再由∠CBF為直角，即可求出∠CBE的度數(shù)．

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠F=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

由旋轉(zhuǎn)可得：PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPF=90°，

∴∠ADP=∠EPF，

在△APD和△FEP中

∠ADP=∠FPE

∠A=∠F=90°

PD=EP，

∴△APD≌△FEP（AAS），

∴AP=EF，AD=PF，

又∵AD=AB，

∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，

∴AP=BF，

∴BF=EF，又∠F=91°，

∴△BEF為等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°，又∠CBF=91°，

則∠CBE=45°．

故選C．