【題目】定義: 對于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點P(a, b) 和拋物線, 我們稱P(a, b)是拋物線的相伴點, 拋物線是點P(a, b) 的相伴拋物線.
如圖,已知點A(-2, -2),B(4, -2),C(1, 4).
(1) 點A的相伴拋物線的解析式為 ;過A, B兩點的拋物線的相伴點坐標(biāo)為 ;
(2) 設(shè)點P(a, b) 在直線AC上運動:
①點P(a, b)的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線Ω上, 求拋物線Ω的解析式.
②當(dāng)點P(a, b)的相伴拋物線的頂點落在△ABC 內(nèi)部時, 請直接寫出 a 的取值范圍.
【答案】(1)y=x2-2x-2;P(-2,-10);(2)①y=-x2-4x+2;②.
【解析】
(1)a=b=﹣2,故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣2.
故答案為:y=x2﹣2x﹣2;將點A、B坐標(biāo)代入y=x2+ax+b并解得:a=﹣2,b=﹣10;
(2)①直線AC的表達(dá)式為:y=2x+2,設(shè)點P(m,2m+2),則拋物線的表達(dá)式為:y=x2+mx+2m+2,頂點為:(m,m2+2m+2),即可求解;
②如圖所示,Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段,即可求解.
(1)a=b=﹣2,故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣2.
故答案為:y=x2﹣2x﹣2;
將點A、B坐標(biāo)代入y=x2+ax+b得:,解得:a=﹣2,b=﹣10.
故答案為:(﹣2,﹣10);
(2)①由點A、C的坐標(biāo)得:直線AC的表達(dá)式為:y=2x+2,
設(shè)點P(m,2m+2),則拋物線的表達(dá)式為:y=x2+mx+2m+2,
頂點為:(m,m2+2m+2),
令xm,則m=﹣2x,
則ym2+2m+2=﹣x2﹣4x+2,
即拋物線Ω的解析式為:y=﹣x2﹣4x+2;
②如圖所示,Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段,
拋物線與直線AC的交點為點E(0,2);
當(dāng)y=﹣2時,即y=﹣x2﹣4x+2=﹣2,解得:x=﹣2,
故點F(﹣2,﹣2);
故0<x<﹣2+2,由①知:a=m=﹣2x,
故:4﹣4a<0.
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【題目】在正方形中,點是直線上動點,以為邊作正方形,所在直線與所在直線交于點,連接.
(1)如圖1,當(dāng)點在邊上時,延長交于點,與交于點,連接.
①求證:;
②若,求的值;
(2)當(dāng)正方形的邊長為4,時,請直接寫出的長.
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【題目】圖1和圖2中的正方形ABCD和四邊形AEFG都是正方形.
(1)如圖1,連接DE,BG,M為線段BG的中點,連接AM,探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在圖1的基礎(chǔ)上,將正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連結(jié)DE、BG,M為線段BG的中點,連結(jié)AM,探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖, 在等邊△ABC中, D, E, F分別為邊AB, BC, CA上的點, 且滿足∠DEF=60°.
(1)求證:;
(2)若DE⊥BC且DE=EF, 求的值.
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【題目】裝潢公司要給邊長為6米的正方形墻面ABCD進(jìn)行裝潢,設(shè)計圖案如圖所示(四周是四個全等的矩形,用材料甲進(jìn)行裝潢;中心區(qū)是正方形MNPQ,用材料乙進(jìn)行裝潢).
兩種裝潢材料的成本如下表:
材料 | 甲 | 乙 |
價格(元/米2) | 50 | 40 |
設(shè)矩形的較短邊AH的長為x米,裝潢材料的總費用為y元.
(1)MQ的長為 米(用含x的代數(shù)式表示);
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于2米時,預(yù)備資金1760元購買材料一定夠用嗎?請說明理由.
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【題目】某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了探究,探究過程如下,請補充完整.
(1)自變量的取值范圍是全體實數(shù),與的幾組對應(yīng)值列表如下:
其中,________________.
(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點,并畫出了函數(shù)圖像的一部分,請畫出該圖像的另一部分;
(3)觀察函數(shù)圖像,寫出兩條函數(shù)的性質(zhì);
(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn):
①方程有______個實數(shù)根;
②函數(shù)圖像與直線有_______個交點,所以對應(yīng)方程有_____個實數(shù)根;
③關(guān)于的方程有個實數(shù)根,的取值范圍是___________.
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【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)試證明:無論取何值此方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若原方程的兩根,滿足,求的值.
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【題目】閱讀下面內(nèi)容,并按要求解決問題: 問題:“在平面內(nèi),已知分別有個點,個點,個點,5 個點,…,n 個點,其中任意三 個點都不在同一條直線上.經(jīng)過每兩點畫一條直線,它們可以分別畫多少條直線? ” 探究:為了解決這個問題,希望小組的同學(xué)們設(shè)計了如下表格進(jìn)行探究:(為了方便研 究問題,圖中每條線段表示過線段兩端點的一條直線)
請解答下列問題:
(1)請幫助希望小組歸納,并直接寫出結(jié)論:當(dāng)平面內(nèi)有個點時,直線條數(shù)為 ;
(2)若某同學(xué)按照本題中的方法,共畫了條直線,求該平面內(nèi)有多少個已知點.
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