Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為C，且AC⊥BC．
(1)若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；
(2)若m為小于0的常數(shù)，那么(1)中的拋物線經(jīng)過(guò)怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)？
(3)設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)²－4a．   
∵AC⊥BC，由拋物線的對(duì)稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，
∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式為：y＝(x－m)²－2．       
(2)∵m為小于零的常數(shù)，∴只需將拋物線向右平移－m個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，可以使拋物線y＝(x－m)²－2頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．                
(3)由(1)得D(0，m²－2)，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形．
∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．                 
∴m²－2＝|m＋2|，當(dāng)m＋2＞0時(shí)，解得m＝4或m＝－2(舍)．
當(dāng)m＋2＜0時(shí)，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
當(dāng)m＋2＝0時(shí)，即m＝－2時(shí)，B、O、D三點(diǎn)重合(不合題意，舍)
綜上所述：存在實(shí)數(shù)m＝4，使得△BOD為等腰三角形．  

(1)先根據(jù)兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線的解析式，因?yàn)锳C⊥BC，由拋物線的對(duì)稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，－2）代入得a＝．即得拋物線解析式．
(2)根據(jù)“左加右減，上加下減”的特征即可得到平移的方法．
(3)由(1)得D(0，m²－2)，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形．
∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．                 
∴m²－2＝|m＋2|，當(dāng)m＋2＞0時(shí)，解得m＝4或m＝－2(舍)．
當(dāng)m＋2＜0時(shí)，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
當(dāng)m＋2＝0時(shí)，即m＝－2時(shí)，B、O、D三點(diǎn)重合(不合題意，舍)
綜上所述：存在實(shí)數(shù)m＝4，使得△BOD為等腰三角形．