Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE．求證：EC＝ED．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：延長BD到F，使DF＝BC，連結(jié)EF，如圖2．則BE＝AE＋AB＝BD＋DF＝BF，故△BEF為等邊三角形，從而可證△BCE≌△FDE，所以EC＝ED． 　　證法二：過E作EF∥AC，交BD的延長線于F，如圖2，則△BEF為等邊三角形，以下同證法一． 　　證法三：在AE上截取EF＝BC，如圖3．則AF＝CD，故AC∥DF，從而△BDF是等邊三角形，DF＝BF＝AE，可證△ACE≌△FED，所以EC＝ED． 　　證法四：過D作DF∥AC交AE于F點，如圖3，以下同證法三． 　　證法五：作EF∥BC交CA的延長線于F，如圖4．則△AEF是等邊三角形，從而可證 　　△CEF≌△EDB，所以EC＝ED． 　　證法六：作DF∥AB交AC的延長線于F，連結(jié)EF，如圖5．則△CDF是等邊三角形，故AF＝AC＋CF＝BC＋CD＝BD＝AE，從而∠AEF＝∠AFE＝30°，∠DFE＝30°，即EF是等腰△CFD的頂角平分線，所以EF垂直平分CD，由此得EC＝ED． 　　證法七：作EF⊥BD，垂足為F，如圖6．則∠BEF＝30°，BE＝2BF，即AB＋AE＝2BC＋2CF，從而有BC＋2CF＝AE＝BD＝BC＋CD，即CD＝2CF，有CF＝DF，EF為CD的垂直平分線，所以有CE＝ED．