如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3精英家教網(wǎng),m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B、D.
(1)用m表示點(diǎn)A、D的坐標(biāo);
(2)求這個二次函數(shù)的解析式;
(3)點(diǎn)Q為二次函數(shù)圖象上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一點(diǎn),且點(diǎn)Q到△ABC邊BC、AC的距離相等,連接PQ、BQ,求四邊形ABQP的面積.
分析:(1)由△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,可得出AO=0D,由點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)得出AC的長度和OC的長,從而得出點(diǎn)A、D的坐標(biāo);
(2)由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0),且過點(diǎn)B、D,代入y=k(x-1)2,求出即可;
(3)根據(jù)四邊形ABQP的面積=△ABC的面積-(△CBQ的面積+△CPQ的面積)求出即可.
解答:解:(1)∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),
∴OC=3,BC=m.
∵AC=BC,
∴AC=m,
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(3-m,0),
由題意得:AO=OD,
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,m-3);

(2)設(shè)以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=k(x-1)2(k≠0),
∵拋物線過點(diǎn)B、D,
m=k(3-1)2
m-3=k(0-1)2.
,
解得:
m=4
k=1.
,精英家教網(wǎng)
所以二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2,
即:y=x2-2x+1;

(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),顯然1<x<3,y>0.
∵點(diǎn)Q到△ABC邊BC、AC的距離相等,
∴QE=FQ=y,
∵CO=3,∴x+y=3,y=3-x,即x2-2x+1=3-x,
整理得x2-x-2=0.解得x=2,x=-1(舍去),
所以y=1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)Q到邊AC、BC的距離都等于1.
連接CQ,
四邊形ABQP的面積=△ABC的面積-四邊形CBQP的面積,
=△ABC的面積-(△CBQ的面積+△CPQ的面積),
=
1
2
×4×4-(
1
2
×4×1+
1
2
×2×1)=5.
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法和一般四邊形面積求法,將四邊形分割成幾個三角形和差的形式是解決問題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B、D.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動點(diǎn),連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F,試證明:FC(AC+EC)為定值.

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