Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y= +bx﹣ 的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）b=；點D的坐標：；
（2）線段AO上是否存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1；
（3）在x軸負半軸上是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）1,（﹣3,4）
（2）解：直線PE交y軸于點E，如圖1，

假設(shè)存在點P，使得OE的長為1，設(shè)OP=a，則AP=3﹣a，

∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，

∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP，

tan∠ADP= = ，tan∠EPO= = ，

∴ = ，即 ﹣3a+4=0，

△= ﹣4×4=﹣7＜0，無解，

故線段AO上不存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1．

（3）解：假設(shè)存在這樣的點P，DE交x軸于點M，如圖2，

∵△PED是等腰三角形，

∴DP=PE，

∵DP⊥PE，四邊形ABCD為正方形

∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，

∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，

在△PEO和△DAP中，

∠EPO=∠PDA，DP=PE，∠PEO=∠DPA，

∴△PEO≌△DAP，

∴PO=DA=4，OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1，

∴點P坐標為（﹣4，0）．

∵DA⊥x軸，

∴DA∥EO，

∴∠ADM=∠OEM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

又∵∠AMD=∠OME（對頂角），

∴△DAM∽EOM，

∴ ，

∵OM+MA=OA=3，

∴MA= ×3= ，

△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為 ×AD×AM= ×4× = ．

答：存在這樣的點P，點P的坐標為（﹣4，1），此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為 ．

【解析】（1）∵點A（﹣3，0）在二次函數(shù)y= +bx﹣ 的圖象上，

∴0= ﹣3b﹣ ，解得b=1，

∴二次函數(shù)解析式為y= +x﹣ = （x+3）（x﹣1），

∴點B（1，0），AB=1﹣（﹣3）=4，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB=4，

∴點D（﹣3，4），

所以答案是：1；（﹣3，4）．

【考點精析】掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．