Question

如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M是OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，設(shè)DE=

a

(a＞0)，EM=x．
（1）用含x和a的代數(shù)式表示MC的長(zhǎng)，并求證：x2-

64-a

•x+12=0．
（2）當(dāng)a=15，且EM＞MC時(shí)，求sin∠EOM的值；
（3）根據(jù)圖形寫(xiě)出EM的長(zhǎng)的取值范圍．試問(wèn)：在弧DB上是否存在一點(diǎn)E，使EM的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-

64-a

•x+12=0的相等實(shí)數(shù)根？如果存在，求出sin∠EOM的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到直角三角形CDE，再根據(jù)勾股定理求得CE的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得MC的長(zhǎng)．根據(jù)相交弦定理進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)（1）中的方程即可求得x的值，即可以求得EM，CM的長(zhǎng)．此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形EOM是等腰三角形，作其底邊上的高，根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理求得其底邊上的高，再進(jìn)一步求得sin∠EOM的值；
（3）根據(jù)圖形可知EM一定大于BM的長(zhǎng)，即2，而小于AM的長(zhǎng)，即6．首先根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用△=0求得a的值，再進(jìn)一步求得EM的長(zhǎng)．根據(jù)EM，OE，OM的長(zhǎng)，不難發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)直角三角形，即可求得sin∠EOM的值．

解答：解：（1）∵CD是直徑
∴∠CED=90度
在直角三角形CDE中，DE=

a

，CD=8
根據(jù)勾股定理，得CE=

64-a

∴MC=

64-a

-x
根據(jù)相交弦定理，得
AM•BM=CM•EM
即x（

64-a

-x）=6×2
得x2-

64-a

•x+12=0．

（2）當(dāng)a=15時(shí)，根據(jù)（1）中的方程，有
x²-7x+12=0
解得x=3或x=4
又EM＞MC，則
EM=4，MC=3
因?yàn)镋M=EO=4，作EF⊥OB于F，則OF=1
根據(jù)勾股定理，得EF=

15

所以sin∠EOM=

15

4

．

（3）根據(jù)圖形，顯然2＜x＜6．
根據(jù)EM的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-

64-a

•x+12=0的相等實(shí)數(shù)根，則
△=64-a-48=0
∴a=16
把a(bǔ)=16代入方程，解得x=2

3

即EM=2

3

又∵OE=4，OM=2
∴sin∠EOM=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的知識(shí)．既要熟悉一元二次方程根的判別式，還要熟悉相交弦定理、勾股定理及其逆定理和銳角三角函數(shù)的定義．在計(jì)算的過(guò)程中能夠根據(jù)線段的長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)特殊的三角形．