【題目】如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),在AB上以每秒5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),在BC上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CA方向以每秒 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí),點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求線段AQ的長;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)連結(jié)PQ,當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行時(shí),求t的值;
(3)如圖②,過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E,以PE,EQ為鄰邊作矩形PEQF,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),連結(jié)DF.設(shè)矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S.①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1:2時(shí)t的值.
【答案】
(1)解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,BC=6,
∴AC= = =8,
∵CQ= t,
∴AQ=8﹣ t(0≤t≤4).
(2)解:①當(dāng)PQ∥BC時(shí), = ,
∴ = ,
∴t= s.
②當(dāng)PQ∥AB時(shí), = ,
∴ = ,
∴t=3,
綜上所述,t= s或3s時(shí),當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行.
(3)解:①如圖1中,a、當(dāng)0≤t≤ 時(shí),重疊部分是四邊形PEQF.
S=PEEQ=3t(8﹣4t﹣ t)=﹣16t2+24t.
b、如圖2中,當(dāng) <t≤2時(shí),重疊部分是四邊形PNQE.
S=S四邊形PEQF﹣S△PFN=(16t2﹣24t)﹣ [5t﹣ (8﹣ t)] [5t﹣
c、如圖3中,當(dāng)2<t≤3時(shí),重疊部分是五邊形MNPBQ.
S=S四邊形PBQF﹣S△FNM= t[6﹣3(t﹣2)]﹣ [ t﹣4(t﹣2)] [ t﹣4(t﹣2)]=﹣ t2+32t﹣24.
②a、如圖4中,當(dāng)DE:DQ=1:2時(shí),DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1:2.
則有(4﹣4t):(4﹣ t)=1:2,解得t= s,
b、如圖5中,當(dāng)NE:PN=1:2時(shí),DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1:2.
∴DE:DQ=NE:FQ=1:3,
∴(4t﹣4):(4﹣ t)=1:3,
解得t= s,
綜上所述,當(dāng)t= s或 s時(shí),DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1:2.
【解析】(1)由線段之差可表示出AQ=8﹣ t;(2)由于點(diǎn)Q在AC上,PQ不會(huì)與AC平行,因此分類討論P(yáng)Q∥BC與PQ∥AB兩類;(2)以t=2和為分界點(diǎn)分為三段:0≤t≤ 、 <t≤2、2<t≤3;(3)需分類為兩種:左上:右下=1:2和左上:右下=2:1.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)關(guān)系式,需要了解用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式才能得出正確答案.
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【題目】說明理由
如圖,∠1+∠2=230°,b∥c, 則∠1、∠2、∠3、∠4各是多少度?
解:∵ ∠1=∠2 (_________________________)
∠1+∠2=230°
∴∠1 =∠2 =________(填度數(shù))
∵ b∥c
∴∠4 =∠2= ________(填度數(shù))
( )
∠2 +∠3 =180° ( )
∴∠3 =180°-∠2 =_________(填度數(shù))
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【題目】一個(gè)不透明的口袋中有一個(gè)小球,上面分別標(biāo)有字母a,b,c,每個(gè)小球除字母不同外其余均相同,小園同學(xué)從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下字母后放回且攪勻,再從可口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下字母.用畫樹狀圖(或列表)的方法,求小園同學(xué)兩次摸出的小球上的字母相同的概率.
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【題目】兩根木條,一根長20cm,另一根長24cm,將它們一端重合且放在同一條直線上,此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為( )
A. 2cm B. 4cm C. 2cm或22cm D. 4cm或44cm
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【題目】甲、乙兩車間同時(shí)開始加工一批服裝.從開始加工到加工完這批服裝甲車間工作了9小時(shí),乙車間在中途停工一段時(shí)間維修設(shè)備,然后按停工前的工作效率繼續(xù)加工,直到與甲車間同時(shí)完成這批服裝的加工任務(wù)為止.設(shè)甲、乙兩車間各自加工服裝的數(shù)量為y(件).甲車間加工的時(shí)間為x(時(shí)),y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)甲車間每小時(shí)加工服裝件數(shù)為件;這批服裝的總件數(shù)為件.
(2)求乙車間維修設(shè)備后,乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)求甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時(shí)甲車間所用的時(shí)間.
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【題目】某超市用3400元購進(jìn)A、B兩種文具盒共120個(gè),這兩種文具盒的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表:
價(jià)格/類型 | A型 | B型 |
進(jìn)價(jià)(元/只) | 15 | 35 |
標(biāo)價(jià)(元/只) | 25 | 50 |
(1)這兩種文具盒各購進(jìn)多少只?
(2)若A型文具盒按標(biāo)價(jià)的9折出售,B型文具盒按標(biāo)價(jià)的8折出售,那么這批文具盒全部售出后,超市共獲利多少元?
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【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),CE⊥AD,垂足為點(diǎn)E,BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F.
求證:AC=2BF.
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【題目】小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了,需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡,工人師傅在一塊如圖所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)A,B,C,給出三角形ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是( )
A.AB,AC邊上的中線的交點(diǎn)
B.AB,AC邊上的垂直平分線的交點(diǎn)
C.AB,AC邊上的高所在直線的交點(diǎn)
D.∠BAC與∠ABC的角平分線的交點(diǎn)
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