【題目】(1)(操作發(fā)現(xiàn))
如圖 1,在邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,ABC 的三個頂點均在格點上.現(xiàn)將ABC 繞點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°,點 B 的對應點為 B′,點 C 的對應點為 C′, 連接 BB′,如圖所示則∠AB′B= .
(2)(解決問題)
如圖 2,在等邊ABC 內(nèi)有一點 P,且 PA=2,PB= ,PC=1,如果將△BPC 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 60°得出△ABP′,求∠BPC 的度數(shù)和 PP′的長;
(3)(靈活運用)
如圖 3,將(2)題中“在等邊ABC 內(nèi)有一點 P 改為“在等腰直角三角形 ABC 內(nèi)有一點P”,且 BA=BC,PA=6,BP=4,PC=2,求∠BPC 的度數(shù).
【答案】(1)如圖1所示,見解析;45°;(2)∠BPC=150°,PP′=;(3)∠BPC=135°.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角,旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可,只要證明△ABB'是等腰直角三角形即可;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得△P'PB是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)即可求出PP'的長;而△PP'A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠AP'B=150°,從而得出結(jié)論;
(3)將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB,與(1)類似:可得:∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,求出∠BEP=45°,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AEP=90°,即可得出結(jié)論.
如圖1所示,連接BB',將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,
∴AB=AB',∠B'AB=90°,∴∠AB'B=45°.
故答案為45°;
(2)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP',如圖2,
∴AP'=CP=1,BP'=BP=,∠PBC=∠P'BA,∠AP'B=∠BPC.
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP'是等邊三角形,
∴PP'=,∠BP'P=60°.
∵AP'=1,AP=2,
∴AP'2+PP'2=12+()2 =4,AP2=22=4,
∴AP'2+PP'2=AP2,
∴∠AP'P=90°,則△PP'A是直角三角形,
∴∠BPC=∠AP'B=90°+60°=150°;
(3)如圖3,將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB,
與(1)類似:可得:AE=PC=2,BE=BP=4,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,
∴∠BEP=(180°﹣90°)=45°,
由勾股定理得:EP=.
∵AE=2,AP=6,EP=,
∴AE2+PE2=22+2=36 2=62=36,
∴AE2+PE2=AP2,
∴∠AEP=90°,
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于M,交AC于N.
(1)若∠ABC=70°,則∠MNA的度數(shù)是 .
(2)連接NB,若AB=8cm,△NBC的周長是14cm.
①求BC的長;
②在直線MN上是否存在P,使由P、B、C構(gòu)成的△PBC的周長值最。咳舸嬖,標出點P的位置并求△PBC的周長最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,點O是直線AB上一點,OC、OD為從點O引出的兩條射線,∠BOD=30°,∠COD=∠AOC.
(1)如圖①,求∠AOC的度數(shù);
(2)如圖②,在∠AOD的內(nèi)部作∠MON=90°,請直接寫出∠AON與∠COM之間的數(shù)量關系 ;
(3)在(2)的條件下,若OM為∠BOC的角平分線,試說明∠AON=∠CON.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P、Q同時從點B出發(fā),點P沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止,點Q沿BC運動到點C時停止,它們運動的速度都是1cm/秒.設P、Q同發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關系圖象如圖(2)(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:
①AD=BE=5;
②cos∠ABE=;
③當0<t≤5時,y=t2;
④當t=秒時,△ABE∽△QBP;
其中正確的結(jié)論是 (填序號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A是直線AM與⊙O的交點,點B在⊙O上,BD⊥AM垂足為D,BD與⊙O交于點C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求證:AM是⊙O的切線;
(2)若DC=2,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知B點坐標為(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標;
(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點,求△MBC的面積的最大值,并求出此時M點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某初中學校欲向高一級學校推薦一名學生,根據(jù)規(guī)定的推薦程序:首先由本年級200名學生民主投票,每人只能推薦一人(不設棄權票),選出了票數(shù)最多的甲、乙、丙三人.投票結(jié)果統(tǒng)計如圖一:
其次,對三名候選人進行了筆試和面試兩項測試.各項成績?nèi)缦卤硭荆?/span>
測試項目 | 測試成績/分 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
筆試 | 92 | 90 | 95 |
面試 | 85 | 95 | 80 |
圖二是某同學根據(jù)上表繪制的一個不完全的條形圖.
請你根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)補全圖一和圖二;
(2)請計算每名候選人的得票數(shù);
(3)若每名候選人得一票記1分,投票、筆試、面試三項得分按照2:5:3的比確定,計算三名候選人的平均成績,成績高的將被錄取,應該錄取誰?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,過點D作對角線BD的垂線,交BC的延長線于點E,取BE的中點F,連接DF,DF=4.設AB=x,AD=y,則x2+(y﹣4)2的值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,FH是⊙O的切線,切點為F,FH∥BC,連接AF交BC于E,∠ABC的平分線BD交AF于D,連接BF.
(1)證明:AF平分∠BAC;
(2)證明:BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的長.
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