Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=AC，點(diǎn)E、F、G分別在邊BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，點(diǎn)H是線(xiàn)段AF上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)．

(1)求證:△AEH≌△AGH；

(2)當(dāng)AB=12，BE=4時(shí)：

①求△DGH周長(zhǎng)的最小值；

②若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線(xiàn)OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1:3．若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②存在，或

【解析】

（1）證明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再結(jié)合角平分線(xiàn)，即可利用SAS證明△AEH≌△AGH；

（2）①根據(jù)題意可得點(diǎn)E和點(diǎn)G關(guān)于AF對(duì)稱(chēng)，從而連接ED，與AF交于點(diǎn)H，連接HG，得到△DGH周長(zhǎng)最小時(shí)即為DE+DG，構(gòu)造三角形DCM進(jìn)行求解即可；

②分當(dāng)OH與AE相交時(shí)，當(dāng)OH與CE相交時(shí)兩種情況分別討論，結(jié)合中位線(xiàn)，三角形面積進(jìn)行求解即可.

解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，

∵BE=CG，AB=AC，

∴△ABE≌△ACG，

∴AE=AG，

∵AF平分∠EAG，

∴∠EAH=∠GAH，

∵AH=AH，

∴△AEH≌△AGH；

（2）①如圖，連接ED，與AF交于點(diǎn)H，連接HG，

∵點(diǎn)H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，

∴點(diǎn)E和點(diǎn)G關(guān)于AF對(duì)稱(chēng)，

∴此時(shí)△DGH的周長(zhǎng)最小，

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，

由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，

∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，

∴CM=CD=6，

∴DM=，

∵AB=12=BC，BE=4，

∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，

∴DE==DH+EH=DH+HG，

∴DH+HG+DG=

∴△DGH周長(zhǎng)的最小值為；

②當(dāng)OH與AE相交時(shí)，如圖，AE與OH交于點(diǎn)N，

可知S△AON：S四邊形HNEF=1:3，

即S△AON：S△AEC=1:4，

∵O是AC中點(diǎn)，

∴N為AE中點(diǎn)，此時(shí)ON∥EC，

∴，

當(dāng)OH與EC相交時(shí)，如圖，EC與OH交于點(diǎn)N，

同理S△NOC：S四邊形ONEA=1:3，

∴S△NOC：S△AEC=1:4，

∵O為AC中點(diǎn)，

∴N為EC中點(diǎn)，則ON∥AE，

∴，

∵BE=4，AB=12，

∴EC=8，EN=4，

過(guò)點(diǎn)G作GP⊥BC，交BNC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，

∵∠BCD=120°，

∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，

∴CG=2CP，

∵CG=BE=4，

∴CP=2，GP=，

∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

設(shè)EF=FG=x，則FC=8-x，FP=10-x，

在△FGP中，，

解得：x=，

∴EF=，

∴，

綜上：存在直線(xiàn)OH，的值為或.