Question

如圖直角坐標系中，已知A（-4，0），B（0，3），點M在線段AB上．
（1）如圖1，如果點M是線段AB的中點，且⊙M的半徑為2，試判斷直線OB與⊙M的位置關系，并說明理由；
（2）如圖2，⊙M與x軸、y軸都相切，切點分別是點E、F，試求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設線段OB的中點為D，證明MD=2，且MD⊥OB即可；
（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式：y=

3

4

x+3，根據(jù)切線的性質得到點M到x軸、y軸的距離都相等，設M（a，-a）（-4＜a＜0）．代入y=

3

4

x+3，即可求得a的值，即得到M的坐標．

解答：解：（1）直線OB與⊙M相切．
理由：設線段OB的中點為D，連接MD．
因為點M是線段AB的中點，
所以MD∥AO，MD=2．
所以MD⊥OB，點D在⊙M上．
又因為點D在直線OB上，
所以直線OB與⊙M相切；

（2）解法一：可求得過點A、B的
一次函數(shù)關系式是y=

3

4

x+3，
因為⊙M與x軸、y軸都相切，
所以點M到x軸、y軸的距離都相等．
設M（a，-a）（-4＜a＜0）．
把x=a，y=-a代入y=

3

4

x+3，
得-a=

3

4

a+3，得a=-

12

7

．
所以點M的坐標為（-

12

7

，

12

7

）．
解法二：連接ME、MF．
設ME=x（x＞0），則OE=MF=x，
因為一次函數(shù)關系式是y=

3

4

x+3，
所以AE=

4

3

x，所以AO=

7

3

x．
因為AO=4，所以，

7

3

x=4．
解得x=

12

7

．
所以點M的坐標為（-

12

7

，

12

7

）．

點評：本題考查了利用待定系數(shù)法求直線的解析式的方法以及一次函數(shù)的性質．也考查了圓的切線的判定與性質．