Question

【題目】如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E．

（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為：20﹣10．

【解析】分析：（1）首先連接OE，并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，由OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可證得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，可求得其對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，然后由設(shè)OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，則可得方程r+r=10，繼而求得答案．

詳解：（1）連接OE，并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD．

∵BC切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥BC，OE=OA．

又∵AC為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∴∠ACB=∠ACD，∴OF=OE=OA，即：CD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∴AB=BC=10，∠B=90°，∠ACB=45°，∴AC==10．

∵OE⊥BC，∴OE=EC，設(shè)OA=r，則OE=EC=r，∴OC==r．

∵OA+OC=AC，∴r+r=10，解得：r=20﹣10，∴⊙O的半徑為：20﹣10．