Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，O為邊AB上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑，作⊙O，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F恰好是ED的中點(diǎn)，連接DF．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為10，AE=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OF，AF，由題意得出$\widehat{EF}=\widehat{FD}$，由圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠3，證出AC∥OF，得出∴∠BFO=∠ACB=90°，即可得出結(jié)論；
（2）連接ED，交OF于H，由圓周角定理得出∠AED=90°，由勾股定理求出ED=8，證明四邊形ECFH為矩形，得出∠EHO=90°，OF⊥ED，由三角形中位線定理得出$OH=\frac{1}{2}AE=3$，求出HF=5-3=2，得出${S_{△ECF}}=\frac{2×4}{2}=4$，證出陰影部分的面積與△CEF的面積相等，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OF，AF如圖，
∵F為$\widehat{ED}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{EF}=\widehat{FD}$，
∴∠1=∠2，∵AO=FO，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AC∥OF∴∠BFO=∠ACB=90°，
∵F為⊙O上一點(diǎn)，
∴BC為⊙O的切線；
（2）連接ED，交OF于H，如圖，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，$ED=\sqrt{A{D^2}-A{E^2}}$=8，
∵∠AED=90°=∠ACF=∠BFO，
∴四邊形ECFH為矩形，
∴∠EHO=90°，OF⊥ED，
∴H為ED的中點(diǎn)，
∴EH=4，
∵O為AD的中點(diǎn)，
∴$OH=\frac{1}{2}AE=3$，
∴HF=5-3=2，
${S_{△ECF}}=\frac{2×4}{2}=4$，
∵$\widehat{EF}=\widehat{FD}$，
∴弓形FD與弓形EF全等∴陰影部分的面積與△CEF的面積相等，
故圖中陰影部分的面積為4．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．