Question

如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC="6." △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，連結(jié)AE，AC和BE相交于點(diǎn)O.

小題1:（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；
小題2:（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點(diǎn)Q，QR⊥BD，垂足為點(diǎn)R.
①四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；
②當(dāng)線段BP的長為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？

Answer 1

小題1:（1）四邊形ABCE是菱形.
證明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴ EC∥AB，EC＝AB.
∴ 四邊形ABCE是平行四邊形.
又∵ AB＝BC，
∴四邊形ABCE是菱形
小題2:（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化，理由如下：
由菱形的對(duì)稱性知，△PBO≌△QEO，
∴ S_△PBO＝ S_△QEO
∵ △ECD是由△ABC平移得到的，
∴ ED∥AC，ED＝AC＝6.
又∵ BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S_{四邊形PQED}＝S_△QEO＋S_{四邊形POED}＝S_△PBO＋S_{四邊形POED}＝S_△BED
＝×BE×ED＝×8×6＝24.          ……………4分
②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，使以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似.
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3.
∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng) .
∴∠2與∠1對(duì)應(yīng) .
即∠2＝∠1，∴OP=OC="3" . 
過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點(diǎn) .
可證 △OGC∽△BOC .
∴ CG:CO＝CO:BC .
即 CG:3＝3:5 .
∴ CG= .
∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝ .
∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.
∴ x＝                               
∴ BP＝ .         

略