Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，A′B′交BC于點E，A′D′交CD于點F.

（1）求證：OE=OF；

（2）若正方形ABCD的邊長為1，求兩個正方形重疊部分的面積；

（3）若正方形 A′B′C′D′繞著O點旋轉，EF的長度何時最小，并求出最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;（3）.

【解析】

（1）利用正方形的性質可得△BOE≌ △COF，即可證得OE=OF,

（2）由△BOE≌ COF，得兩個正方形重疊部分的面積=S四邊形ECFO=S△OEC+S△OFC= S△OEC+S△OEB=S△BOC，即可求出；

（3）利用勾股定理表示出EF的表達式，即可得到OE⊥BC時，EF最小值.

（1）在正方形ABCD中，∠OBE=∠OCF=45°，BO=CO,

又∵∠BOE+∠EOC=∠EOC+∠COF=90°，

∴∠BOE=∠COF

∴△BOE≌△COF

∴OE=OF；

（2）∵△BOE≌△COF

∴兩個正方形重疊部分的面積=S四邊形ECFO=S△OEC+S△OFC= S△OEC+S△OEB=S△BOC=S正方形ABCD=

（3）連接EF，∵∠EOF=90°，

∴EF2=OE2+OF2，

∵OE=OF,

∴EF2=2OE2，

∴要使EF最小，則OE最小，

∴當OE⊥BC時，OE最小=

∴EF2=

故EF最小值為