Question

8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在射線CB上，且ED=EC，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF（點(diǎn)B、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A、F），連接EF．
（1）求證：AE=DB；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對線段長度之和等于AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=BC，∠BCA=60°，則可判斷△ABC為等邊三角形，過點(diǎn)E做EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則△EBG為等邊三角形，所以EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，則∠EBD=∠EGC=120°，接下來證明△BDE≌△GCE得到BD=GC，然后利用等線段代換可得到AE=DB；
（2）利用BD=AE，BE=BC=CE=EF等線段代換易得四對線段，使每對線段長度之和等于AB的長．

解答 解：（1）∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
過點(diǎn)E做EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，
∴△EBG為等邊三角形，
∴EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，
∴∠EBD=∠EGC=120°，
∵ED=EC
∴∠D=∠ECD，
在△BDE和△GCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠EGC}\\{∠D=∠GCE}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△GCE，
∴BD=GC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，
∴AB-BE=BC-BG，
∴AE=CG，
∴AE=DB；
（2）AE+BE=AB；BD+BE=AB；AE+AF=AB；BD+AF=AB．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．