Question

已知等邊△OAB的邊長為a，以AB邊上的高OA₁為邊，按逆時針方向作等邊△OA₁B₁，A₁B₁與OB相交于點(diǎn)A₂．
（1）求線段OA₂的長；
（2）若再以O(shè)A₂為邊，按逆時針方向作等邊△OA₂B₂，A₂B₂與OB₁相交于點(diǎn)A₃，按此作法進(jìn)行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…△OA_nB_n（如圖）．求△OA₆B₆的周長．

Answer 1

分析：在等邊三角形中，由勾股定理可求得其一邊上的高與邊長的關(guān)系，根據(jù)圖形的變化規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）OA₂=

3

2

OA₁=

3

2

×（

3

2

OA）（2分）
=

3

4

OA=

3

4

a（4分）

（2）依題意，OA₁=

3

2

OA、OA₂=

3

2

OA₁=（

3

2

）²OA
OA₃=

3

2

OA₂=（

3

2

）³OA（6分）
以此類推，OA₆=（

3

2

）⁶OA=

27

64

OA=

27

64

a（8分）
即△OA₆B₆的周長=3OA₆=

81

64

a．（9分）

點(diǎn)評：本題是找規(guī)律題，找到第n個等邊三角形的邊長與前一個等邊三角形的邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．