Question

如圖，點(diǎn)A₁，O，A₁₁在一條直線上，自O(shè)點(diǎn)順次引9條射線OA₂，OA₃，OA₄，OA₅，OA₆，…，OA₁₀．
（1）圖中有多少個小于平角的角？
（2）從射線OA₂開始按順時針方向依次在射線OA₂，OA₃，OA₄，OA₅，OA₆，…OA₁₀上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，…
①數(shù)字23在哪一條射線上？
②寫出射線OA₄上數(shù)字的排列規(guī)律；
③數(shù)字2008在哪條射線上？（寫出你的推理過程）
（3）若∠A₃0A₂-∠A₂OA₁=∠A₄OA₃-∠A₃OA₂=…=∠A₁₁OA₁₀-∠A₁₀OA₉=2°，求∠A₂OA₁的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）從一個點(diǎn)引N條射線，所有的角個數(shù)為

N(N-1)

2

，本題中是求小于平角的角，所以角的個數(shù)

11×10

2

-1=54個角；
（2）轉(zhuǎn)第一圈時，OA₂上的數(shù)字為1，轉(zhuǎn)第二圈時，OA₂上的數(shù)字為12，轉(zhuǎn)第三圈時，OA₂上的數(shù)字為23，…轉(zhuǎn)第N圈時，OA₂上的數(shù)字為1+11（N-1），以此規(guī)律求解；
（3）設(shè)出適當(dāng)?shù)膮��?shù)建立方程求解．

解答：解：（1）角的個數(shù)

11×10

2

-1=54；

（2）①轉(zhuǎn)第一圈時，OA₂上的數(shù)字為1，轉(zhuǎn)第二圈時，OA₂上的數(shù)字為10，轉(zhuǎn)第三圈時，OA₂上的數(shù)字為19；
∴數(shù)字23在OA₆上；
②轉(zhuǎn)第一圈時，OA₄上的數(shù)字為3，轉(zhuǎn)第二圈時，OA₄上的數(shù)字為14，轉(zhuǎn)第一圈時，OA₄上的數(shù)字為25，…轉(zhuǎn)第N圈時，OA₄上的數(shù)字為3+11（N-1）；
∴OA₄上數(shù)字的排列規(guī)律為3+11（N-1）；
③轉(zhuǎn)第一圈時，OA₂上的數(shù)字為1，轉(zhuǎn)第二圈時，OA₂上的數(shù)字為12，轉(zhuǎn)第三圈時，OA₂上的數(shù)字為23，…轉(zhuǎn)第N圈時，OA₂上的數(shù)字為1+11（N-1），轉(zhuǎn)第183圈時，OA₂上的數(shù)字為1+11（183-1）=2003，2008-2003=5；
∴2008在OA₇上．

（3）設(shè)∠A₂OA₁=x°，
則∠A₃OA₂=x+2，∠A₄OA₃=x+2×2，∠A₅OA₄=x+3×2，…，∠A₁₁OA₁₀=x+9×2，
由∠A₂OA₁+∠A₃OA₂+∠A₄OA₃+…+∠A₁₁OA₁₀=180°，
可列方程，求得x=9，于是∠A₂OA₁=9°．
∴∠A₂OA₁的度數(shù)為9°．

點(diǎn)評：（1）中注意要在

N(N-1)

2

減去1，因?yàn)檫@個角數(shù)已括了一個平角．
（2）轉(zhuǎn)第N圈時，OA₂上的數(shù)字為1+11（N-1），利用了此規(guī)律求解．
（3）關(guān)鍵要從“∠A₃0A₂-∠A₂OA₁=∠A₄OA₃-∠A₃OA₂=…=∠A₁₁OA₁₀-∠A₁₀OA₉=2°”發(fā)現(xiàn)，角的度數(shù)后都比前者多2°，再利用∠A₂OA₁+∠A₃OA₂+∠A₄OA₃+…+∠A₁₁OA₁₀=180°求解．