Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，點E從點D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當B、E、F三點共線時，兩點同時停止運動，此時BF⊥CE．設點E移動的時間為t（秒）．

（1）求當t為何值時，兩點同時停止運動；

（2）求當t為何值時，EC是∠BED的平分線；

（3）設四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；

（4）求當t為何值時，△EFC是等腰三角形．（直接寫出答案）

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）B，E，F(xiàn)三點共線時，滿足△FED∽△FBC，結合行程問題可以得出關于t的比例式，求出t的值；

（2）∠BEC=∠BFC．可以轉化為∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出關于t的方程，求出值；

（3）求S與t之間的函數(shù)關系式，可以將四邊形BCFE的面積分成S_△BCE，S_△ECF兩部分，結合（1）確定t的取值范圍；

（4）根據(jù)等腰三角形的性質，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三種情況討論．

【解答】解：（1）當B，E，F(xiàn)三點共線時，兩點同時停止運動，如圖所示．

由題意可知：ED=t，BC=10，F(xiàn)D=2t﹣5，F(xiàn)C=2t．

∵ED∥BC，

∴△FED∽△FBC．

∴=．

∴=．

解得t=5．

∴當t=5時，兩點同時停止運動；

（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，

∵∠BCF=∠CDE=90°，==2，

∴Rt△BCF∽Rt△CDE．

∴∠BFC=∠CED．                              

∵AD∥BC，

∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，則∠BEC=∠BCE．即BE=BC．

∵5²+（10﹣t）²=10²，

解得 t₁=10+5（舍去），t₂=10﹣5．

即當t=10﹣5時，EC是∠BED的平分線．        

（3）分兩種情況討論：①當F在線段CD上時：S_{四邊形BCFE}=S_梯形BCDE﹣S_△EDF=（t+10）×5﹣t（5﹣2t）=t²+25；

②當F在CD延長線上時：

S_{四邊形BCFE}=S_梯形BCDE+S_△EDF=（t+10）×5+t（2t﹣5）=﹣t²+25；

∴S=﹣t²+25（0≤t≤5）；

（4）△EFC是等腰三角形有三種情況：

①若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上，

∵EF²=（2t﹣5）²+t²=5t²﹣20t+25，

EC²=5²+t²=t²+25，

∴5t²﹣20t+25=t²+25．

∴t=5或t=0（舍去）；

②若EC=FC時，

∵EC²=5²+t²=t²+25，F(xiàn)C²=4t²，

∴t²+25=4t²．

∴t=；

③若EF=FC時，

∵EF²=（2t﹣5）²+t²=5t²﹣20t+25，F(xiàn)C²=4t²，

∴5t²﹣20t+25=4t²．

∴t₁=10+5（舍去），t₂=10﹣5．

∴當t的值為5，或10﹣5時，△EFC是等腰三角形．