【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),⊙C與y軸相切于D點,與x軸相交于A(2,0)、B(8,0)兩點,圓心C在第四象限.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)連接BC并延長交⊙C于另一點E,若線段BE上有一點P,使得AB2=BPBE,能否推出AP⊥BE?請給出你的結(jié)論,并說明理由;
(3)在直線BE上是否存在點Q,使得AQ2=BQEQ?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,也請說明理由.
【答案】(1)C(5,-4)(2)能,理由見解析(3)Q1(5, -4) Q2(5.84,-2.88)Q3(,)
【解析】解: ⑴ C(5,-4);(過程1分,縱、橫坐標(biāo)答對各得1分) ………… 3分
⑵ 能 …………………………………4分
連結(jié)AE ,∵BE是⊙O的直徑, ∴∠BAE=90°. …………5分
在△ABE與△PBA中,AB2=BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA . ……………………………………7分
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . …………………8分
⑶ 分析:假設(shè)在直線EB上存在點Q,使AQ2=BQ· EQ. Q點位置有三種情況:
①若三條線段有兩條等長,則三條均等長,于是容易知點C即點Q;
②若無兩條等長,且點Q在線段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足;
③若無兩條等長,且當(dāng)點Q在線段EB外,由條件想到切割線定理,知QA切⊙C于點A.設(shè)Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)或直線解析式等可得多種解法.
解題過程:
① 當(dāng)點Q1與C重合時,AQ1=Q1B=Q1E, 顯然有AQ12=BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合題意; ……………………………9分
② 當(dāng)Q2點在線段EB上, ∵△ABE中,∠BAE=90°
∴點Q2為AQ2在BE上的垂足, ……………………10分
∴AQ2== 4.8(或).
∴Q2點的橫坐標(biāo)是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
又由AQ2·∠BAQ2=2.88,
∴點Q2(5.84,-2.88),………………………11分
③方法一:若符合題意的點Q3在線段EB外,
則可得點Q3為過點A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三邊長分別為6、8、10,
故不妨設(shè)BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, ……………………12分
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得, ………………………13分
即得t=,
〖注:此處也可由列得方程; 或由AQ32= Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3點的橫坐標(biāo)為8+3t=, Q3點的縱坐標(biāo)為,
即Q3(,) . …………14分
方法二:如上所設(shè)與添輔助線, 直線 BE過B(8, 0), C(5, -4),
∴直線BE的解析式是. ………………12分
設(shè)Q3(,),過點Q3作Q3R⊥x軸于點R,
∵易證∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴, 即, ………………13分
∴t=,進而點Q3的縱坐標(biāo)為,∴Q3(,). ………14分
方法三:若符合題意的點Q3在線段EB外,連結(jié)Q3A并延長交軸于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA,,
在R t△OAF中有OF=2×=,點F的坐標(biāo)為(0,),
∴可得直線AF的解析式為, …………………12分
又直線BE的解析式是, ………………13分
∴可得交點Q3(,). ……………………14分
(1)根據(jù)切割線定理求OD,,即可求得C的縱坐標(biāo),由圖即可求得C的橫坐標(biāo)
(2)連結(jié)AE,通過AB2=BP· BE,求得△ABE∽△PBA, 因為BE是⊙O的直徑, 所以∠BAE=90°,從而求得AP⊥BE
⑶假設(shè)在直線EB上存在點Q,使AQ2=BQ· EQ. Q點位置有三種情況:①若三條線段有兩條等長,則三條均等長,于是容易知點C即點Q;②若無兩條等長,且點Q在線段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足;③若無兩條等長,且當(dāng)點Q在線段EB外,由條件想到切割線定理,知QA切⊙C于點A.設(shè)Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)或直線解析式等可得多種解法.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.同號兩數(shù)相乘,取原來的符號
B.一個數(shù)與﹣1相乘,積為該數(shù)的相反數(shù)
C.一個數(shù)與0相乘仍得這個數(shù)
D.兩個數(shù)相乘,積大于任何一個乘數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形 是正方形, 是 垂直平分線上的點,點 關(guān)于 的對稱點是 ,直線 與直線 交于點 .
(1)若點 是 邊的中點,連接 ,則 =;
(2)小明從老師那里了解到,只要點 不在正方形的中心,則直線 與 所夾銳角不變.他嘗試改變點 的位置,計算相應(yīng)角度,驗證老師的說法.
如圖,將點 選在正方形內(nèi),且△ 為等邊三角形,求出直線 與 所夾銳角的度數(shù);
(3)請你繼續(xù)研究這個問題,可以延續(xù)小明的想法,也可用其它方法.
我選擇小明的想法;并簡述求直線 與 所夾銳角度數(shù)的思路.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點A(a,0)在x軸的正半軸上,定點B(m, n)在第一象限內(nèi)(m<2≤a).在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF , 連接FD , 點M為線段FD的中點.作BB1⊥x軸于點B1 , 作FF1⊥x軸于點F1.
(1)填空:由△≌△ , 及B(m, n)可得點F的坐標(biāo)為 , 同理可得點D的坐標(biāo)為;(說明:點F , 點D的坐標(biāo)用含m , n , a的式子表示)
(2)直接利用(1)的結(jié)論解決下列問題:
①當(dāng)點A在x軸的正半軸上指定范圍內(nèi)運動時,點M總落在一個函數(shù)圖象上,求該函數(shù)的解析式(不必寫出自變量x的取值范圍);
②當(dāng)點A在x軸的正半軸上運動且滿足2≤a≤8時,求點M所經(jīng)過的路徑的長.
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【題目】《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載:今有戶不知高廣,竿不知長短.橫之不出四尺,縱之不出二尺,斜之適出注.問戶斜幾何.
注釋:橫放,竿比門寬長出四尺;豎放,竿比門高長出二尺;斜放恰 好能出去.解決下列問題:
(1)示意圖中,線段CE的長為尺,線段DF的長為尺;
(2)求戶斜多長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘貨船以每小時48海里的速度從港口B出發(fā),沿正北方向航行.在港口B處時,測得燈塔A處在B處的北偏西37°方向上,航行至C處,測得A處在C處的北偏西53°方向上,且A、C之間的距離是45海里.在貨船航行的過程中,求貨船與燈塔A之間的最短距離及B、C之間的距離;若貨船從港口B出發(fā)2小時后到達(dá)D,求A、D之間的距離.
(參考數(shù)據(jù):sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)
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【題目】設(shè)a、b、c為平面上三條不同直線,
(1)若a∥b,b∥c,則a與c的位置關(guān)系是________;
(2)若a⊥b,b⊥c,則a與c的位置關(guān)系是________.
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【題目】如圖,C是線段AB的中點,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE;
(1)求證:△ACD≌△BCE;
(2)若∠D=50°,求∠B的度數(shù).
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【題目】將連續(xù)的偶數(shù)2,4,6,8…排列成如下的數(shù)表用十字框框出5個數(shù)(如圖)
(1)十字框框出5個數(shù)的和與框子正中間的數(shù)20有什么關(guān)系?
(2)若將十字框上下左右平移,但一定要框住數(shù)列中的5個數(shù),若設(shè)中間的數(shù)為a,用a的代數(shù)式表示十字框框住的5個數(shù)字之和.
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