Question

兩個反比例函數(shù)y=

k1

x

和y=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，動點P在y=

k1

x

的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=

k2

x

的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=

k2

x

的圖象于點B．
（1）求證：四邊形PAOB的面積是定值；
（2）當(dāng)

PA

PC

=

2

3

時，求

DB

BP

的值；
（3）若點P的坐標(biāo)為（5，2），△OAB、△ABP的面積分別記為S_△OAB′S_△ABP．設(shè)S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②當(dāng)k₂為何值時，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）讓矩形OCPD的面積減去周圍幾個直角三角形的面積，其中面積應(yīng)整理為和函數(shù)上的點的坐標(biāo)有關(guān)的式子；
（2）利用（1）中兩個三角形的面積相等，得到相關(guān)線段的比值；
（3）把P坐標(biāo)代入所在的反比例函數(shù)即可求得比例系數(shù)的值；所求面積為（1）中所求的面積減去2個△ABP的面積，整理為二次函數(shù)的一般形式，求出最值．

解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC與△BOD的面積分別為S₁，S₂，矩形PCOD的面積為S₃，
由題意，得y1=

k2

x1

，y2=

k2

x2

，y3=

k1

x3

，
∴S1=

1

2

x1y1=

1

2

k2，S2=

1

2

x2y2=

1

2

k2，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四邊形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四邊形PAOB的面積是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，則OD•BD=OC•AC
又∵PA=

2

3

PC
∴AC=

1

3

PC
∵DP=OC，OD=PC
∴BD=

1

3

DP
∴

DB

BP

=

1

2

；（4分）

（3）解：①由題意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B兩點坐標(biāo)分別為A(5，

k2

5

)，B(

k2

2

，2)
∴S△ABP=

1

2

AP•BP=

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=S四邊形PAOB-2S△ABP=10-k2-2×

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=-

1

10

k22+k2
∴當(dāng)k₂=5時，s有最大值

5

2

．（7分）

點評：求坐標(biāo)系內(nèi)圖形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．在做題過程中應(yīng)注意所列的式子都應(yīng)與反比例函數(shù)上的點的坐標(biāo)有關(guān)．