【題目】如圖,已知tan∠EOF=2,點(diǎn)C在射線OF上,OC=12.點(diǎn)M是∠EOF內(nèi)一點(diǎn),MC⊥OF于點(diǎn)C,MC=4.在射線CF上取一點(diǎn)A,連結(jié)AM并延長(zhǎng)交射線OE于點(diǎn)B,作BD⊥OF于點(diǎn)D.

(1)當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí),△AMC和△BOD相似;
(2)當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí),試判斷△AOB的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)連結(jié)BC.當(dāng)SAMC=SBOC時(shí),求AC的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:∵∠MCA=∠BDO=Rt∠,

∴△AMC和△BOD中,C與D是對(duì)應(yīng)點(diǎn),

∴△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況:

①當(dāng)△AMC∽△BOD時(shí), =tan∠EOF=2,

∵M(jìn)C=4,

=2,

解得AC=8;

②當(dāng)△AMC∽△OBD時(shí), =tan∠EOF=2,

∵M(jìn)C=4,

=2,

解得AC=2.

故當(dāng)AC的長(zhǎng)度為2或8時(shí),△AMC和△BOD相似


(2)解:△ABO為直角三角形.理由如下:

∵M(jìn)C∥BD,

∴△AMC∽△ABD,

,∠AMC=∠ABD,

∵M(jìn)為AB中點(diǎn),

∴C為AD中點(diǎn),BD=2MC=8.

∵tan∠EOF=2,

∴OD=4,

∴CD=OC﹣OD=8,

∴AC=CD=8.

在△AMC與△BOD中,

,

∴△AMC≌△BOD(SAS),

∴∠CAM=∠DBO,

∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°,

∴△ABO為直角三角形


(3)解:連結(jié)BC,

設(shè)OD=a,則BD=2a.

∵SAMC=SBOC,SAMC= AC MC=2AC,SBOC= OC BD=12a,

∴2AC=12a,

∴AC=6a.

∵△AMC∽△ABD,

,即 ,

解得a1=3,a2=﹣ (舍去),

∴AC=6×3=18.


【解析】(1)△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況:△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出AC的長(zhǎng);
(2)易證△AMC∽△ABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)可求出OD=4,CD=8,AC=CD=8,從而得出△AMC≌△BOD,則∠CAM=∠DBO,再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度數(shù),進(jìn)而得出△ABO的形狀;
(3)設(shè)OD=a,則BD=2a.利用三角形的面積可得AC=6a,再由△AMC∽△ABD,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出a的值,進(jìn)而得出AC的長(zhǎng).

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