【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是

(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2

【答案】(1),(2),(3),(5).

【解析】

試題分析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,

∴∠BOF+∠COF=90°,

∵∠EOF=90°,

∴∠BOF+∠COE=90°,

∴∠BOE=∠COF,

在△BOE和△COF中,

,

∴△BOE≌△COF(ASA),

∴OE=OF,BE=CF,

∴EF=OE;故正確;

(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,

∴S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正確;

(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故正確;

(4)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC,

∵BC=1,

∴OH=BC=,

設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1﹣x)+(1﹣x)×=﹣(x﹣2+

∵a=﹣<0,

∴當(dāng)x=時(shí),S△BEF+S△COF最大;

即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故錯(cuò)誤;

(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,

∴△OEG∽△OBE,

∴OE:OB=OG:OE,

∴OGOB=OE2,

∵OB=BD,OE=EF,

∴OGBD=EF2,

∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,

∴EF2=AE2+CF2

∴OGBD=AE2+CF2.故正確.

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(1)如圖1,連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N,求證:MN=AC;

(2)如圖2,將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn),其兩邊DE′、DF′分別與直線(xiàn)AB、BC相交于點(diǎn)G、P,連接GP,當(dāng)△DGP的面積等于3時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向.

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(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在A(yíng)B邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長(zhǎng);

(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.

①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;

②求EF的長(zhǎng);

(3)如圖③,若FE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N,CN=1,CE=,求的值.

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