Question

如圖（1），AB是半徑為R的⊙O的一條弦，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)（與A、B不重合）若R=2，AB=2

3

（1）若點(diǎn)P在⊙O優(yōu)弧AB上，AP、BP分別與以AB為直徑的圓交于C、D點(diǎn)
①請(qǐng)利用圖（1）求∠APB的度數(shù)．
②請(qǐng)利用圖（2）求CD的長(zhǎng)．
（2）若點(diǎn)P是⊙O劣弧AB上一點(diǎn)，如圖（3）AP、BP的延長(zhǎng)線分別交以AB為直徑的圓于C、D，你還能求出CD的長(zhǎng)嗎？若能，請(qǐng)求出CD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）①連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，
∵AB=2

3

∴OE=

3

∵OA=2
∴sin∠AOE=

3

2

∴∠AOE=60°
∴∠AOB=120°
∴∠APB=60°；

②設(shè)AB的中點(diǎn)，即圓心是M，連接CM，DM，
由①可知∠P=60°
∴∠A+∠B=120°
∵∠ACM=∠A，∠B=∠BDM
∴∠AMC+∠BMD=360°-240°=120°
∴∠CMD=180°-120°=60°
∴△CMD是等邊三角形
∵AB=2

3

∴CD=CM=DM=

1

2

AB=

3

；

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)，即圓心是M，連接CM，DM，
由（1）可知∠APB=180°-60°=120°
∴∠CDB+∠DCA=60°
∴∠AMD+∠CMB=120°
∴∠CDM=180°-120°=60°
同（1）②可得CD=CM=DM=

1

2

AB=

3

．