【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD、BE相交于點P,BQ⊥AD于點Q,PQ=3,PE=1.
(1)求證:AD=BE;
(2)求AD的長.

【答案】
(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,

∴AB=CA=BC,∠BAE=∠ACD=60°;

在△ABE和△CAD中,

,

∴△ABE≌△CAD(SAS),

∴AD=BE


(2)解:∵△ABE≌△CAD,

∴∠CAD=∠ABE,

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°;

∵BQ⊥AD,

∴∠AQB=90°,

∴∠PBQ=90°﹣60°=30°,

∵PQ=3,

∴在Rt△BPQ中,BP=2PQ=6,

又∵PE=1,

∴AD=BE=BP+PE=6+1=7


【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=CA,每一個角都是60°可得,∠BAE=∠ACD=60°,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可;(2)根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CAD=∠ABE,然后求出∠BPQ=60°,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠PBQ=30°,然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BP=2PQ,再根據(jù)AD=BE=BP+PE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.
【考點精析】認真審題,首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°),還要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
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