【題目】已知,正方形ABCD的邊長為4,點E是對角線BD延長線上一點,AE=BD.將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<360°)得到△ABE′,點B、E的對應(yīng)點分別為B′、E′.

(1)如圖1,當α=30°時,求證:BC=DE;

(2)連接BE、DE′,當BE=DE′時,請用圖2求α的值;

(3)如圖3,點PAB的中點,點Q為線段BE′上任意一點,試探究,在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段PQ長度的取值范圍為   

【答案】(1)證明見解析(2)45°(3)≤PQ≤4+2

【解析】試題分析:(1)、連接AC,B′C,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出得出AC=AE=2OA,根據(jù)Rt△AOE的性質(zhì)得出∠E=30°,然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△ADE和△AB′C全等,從而得出答案;(2)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△AEB′和△AE′D全等,從而得出∠DAE′=∠EAB′,然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出∠EAE′=∠BAB′,從而得到∠BAB′=∠DAB′,最后根據(jù)∠BAB′+∠DAB′=90°得出答案;(3)、點P作PM⊥BE,∵AB=4,點P是AB中點,根據(jù)BP=2得出PM=;在旋轉(zhuǎn)過程中,△ABE在旋轉(zhuǎn)到點E在BA的延長線時,點Q和點E重合,然后求出PQ的長度,從而得出取值范圍.

試題解析:(1)如圖,連接AC,B′C, ∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=AD,AC⊥BD,AC=BD=2OA,∠CAB=ADB=45°, ∵AE=BD, ∴AC=AE=2OA,

在Rt△AOE中,∠AOE=90°,AE=2OA, ∴∠E=30°,

∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°, 由旋轉(zhuǎn)有,AD=AB=AB′∠BAB′=30°

∴∠DAE=15°,

在△ADE和△AB′C中, , ∴△ADE≌△AB′C,∴DE=B′C,

(2)如圖,

由旋轉(zhuǎn)得,AB′=AB=AD,AE′=AE,

在△AEB′和△AE′D中, ,∴△AEB′≌△AE′D,∴∠DAE′=∠EAB′,

∴∠EAE′=∠DAB′,由旋轉(zhuǎn)得,∠EAE′=∠BAB′,∴∠BAB′=∠DAB′,

∵∠BAB′+∠DAB′=90°,∴α=∠BAB′=45°,

(3)如圖,由點到直線的距離,過點P作PM⊥BE,∵AB=4,點P是AB中點,

∴BP=2,∴PM= ,

在旋轉(zhuǎn)過程中,△ABE在旋轉(zhuǎn)到點E在BA的延長線時,點Q和點E重合,

∴AQ=AE=BQ=4 ∴PQ=AQ+AP=4+2,

故答案為≤PQ≤4+2.

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