Question

【題目】將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．

（1）連接BF，求證：CF＝EF．

（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，如圖②，求證：AF+EF＝DE．

（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③，你認為（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請直接寫出AF、EF與DE之間的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接BF，證明Rt△BCF≌Rt△BEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得CF＝EF；（2）連接BF，證明Rt△BCF≌Rt△BEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CF＝EF，由此即可證得結(jié)論；（3）連接BF，證明Rt△BCF≌Rt△BEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CF＝EF，由此即可證得結(jié)論.

（1）證明：如圖1，連接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF＝EF；

（2）如圖2，連接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE， AC＝DE,

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF＝CF，

∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；

（3）如圖3，連接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，AC＝DE,

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

∴△BCF和△BEF是直角三角形，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF＝EF，

∵AC＝DE，

∴AF＝AC+FC＝DE+EF．