已知方程x2+bx+c=0與x2+cx+b=0各有兩個(gè)整數(shù)根x1,x2,和x1′,x2′,且x1x2>0,x1′x2′>0.
(1)求證:x1<0,x2<0,x1′<0,x2′<0;
(2)求證:b-1≤c≤b+1;
(3)求b,c的所有可能的值.
分析:(1)分類(lèi)討論,根據(jù)x1x2>0,x1′x2′>0知道x1與x2同號(hào),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出矛盾,得到正確的結(jié)果;
(2)分別證明b-1≤c和c≤b+1,利用根與系數(shù)的關(guān)系和整數(shù)根;
(3)根據(jù)(2)中b-1≤c≤b+1,分別另c=b+1、b、b-1進(jìn)行求解,從而得到所有正確的結(jié)果.
解答:解:(1)由x
1x
2>0知,x
1與x
2同號(hào).
若x
1>0,則x
2>0,這時(shí)-b=x
1+x
2>0,
所以b<0,
此時(shí)與b=x
1′x
2′>0矛盾,
所以x
1<0,x
2<0.
同理可證x
1′<0,x
2′<0.
(2)由(1)知,x
1<0,x
2<0,所以x
1≤-1,x
2≤-1.
由韋達(dá)定理c-(b-1)=x
1x
2+x
1+x
2+1=(x
1+1)(x
2+1)≥0,
所以c≥b-1.
同理有b-(c-1)=x
1′x
2′+x
1′+x
2′+1=(x
1′+1)(x
2′+1)≥0
所以c≤b+1,
所以b-1≤c≤b+1.
(3)由(2)可知,b與c的關(guān)系有如下三種情況:
(i)c=b+1.由韋達(dá)定理知
x
1x
2=-(x
1+x
2)+1,
所以(x
1+1)(x
2+1)=2,
所以
或
解得x
1+x
2=-5,x
1x
2=6,所以b=5,c=6.
(ii)c=b.由韋達(dá)定理知
x
1x
2=-(x
1+x
2),
所以(x
1+1)(x
2+1)=1,
所以x
1=x
2=-2,從而b=4,c=4.
(iii)c=b-1.由韋達(dá)定理知
-(x
1′+x
2′)=x
1′x
2′-1
所以(x
1′+1)(x
2′+1)=2,
解得x
1′+x
2′=-5,x
1′x
2′=6,
所以b=6,c=5.
綜上所述,共有三組解:(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根和根與系數(shù)的關(guān)系,關(guān)鍵是分類(lèi)討論時(shí)要找到所有的情況.