22、已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分別各有兩個(gè)整數(shù)根且兩根均同號(hào),求證:b-1≤c≤b+1.
分析:通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系,利用反證法推出x1<0,x2<0;將b-1≤c≤b+1轉(zhuǎn)化為c-(b-1)≥0和b≤c-1的問(wèn)題即可.
解答:證明:設(shè)x1,x2,x1′,x2′,分別是兩個(gè)方程的根,
先證x1<0,x2<0,
假設(shè)不成立,由x1>0,x1x2>0知x2>0,而x1+x2=-b=-x1′x2′,與x1′x2′>0矛盾,
故x1<0,x2<0;
又由于c-(b-1)=x1x2+x1+x2+1=(x1+1)(x2+1)≥0,
∴c≥b-1,
由方程x2+cx+b=0,討論可得b≤c-1,
∴b-1≤c≤b+1.
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、反證法等知識(shí),將結(jié)論轉(zhuǎn)化為兩根之積與兩根之和的問(wèn)題即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知方程x2+bx+a=0有一個(gè)根是-a(a≠0),則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是( 。
A、ab
B、
a
b
C、a+b
D、a-b

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知方程x2+bx+c=0與x2+cx+b=0各有兩個(gè)整數(shù)根x1,x2,和x1′,x2′,且x1x2>0,x1′x2′>0.
(1)求證:x1<0,x2<0,x1′<0,x2′<0;
(2)求證:b-1≤c≤b+1;
(3)求b,c的所有可能的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知方程x2-bx+a=0有一個(gè)根是-a(a≠0),則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知方程x2+bx-2=0的一個(gè)根是1,則另一個(gè)根是(  )

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