Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B在x的負(fù)半軸上，△AOB的面積為8，作△AOB關(guān)于y軸的對稱圖形，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為C．

（1）求線段OC的長；

（2）點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿x軸的正方向運(yùn)動，且CE＝AD，連接DE交AC于點(diǎn)G，判斷DG和EG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠CEG＝∠ABD時，求點(diǎn)G點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）OC＝4；（2）DG＝GE，見解析；（3）G（3，1）．

【解析】

（1）利用三角形的面積公式求出OB，再根據(jù)對稱性解決問題即可．

（2）證明△DGH≌△EGC（AAS）可得結(jié)論．

（3）如圖3中，連接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．設(shè)AD=DH=x，則AH=x，HC=4﹣x，證明△DHG∽△CHD，推出，由此構(gòu)建方程求出x即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵A（0，4），

∴OA=4，

∵S△AOB=×OB×OA=8，

∴OB=4，

∵△AOB與△AOC關(guān)于y軸對稱，

∴OC=OB=4．

（2）如圖2中，結(jié)論：DG=GE．

理由：作DH∥EC交AC于H．

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠DAH=∠ACO=45°，

∵DH∥OC，

∴∠AHD=∠ACO=45°，

∴∠DAH=∠AHD，

∴AD=DH，

∵AD=EC，

∴DH=EC，

∵∠DHG=∠GCE，∠DGH=∠CGE，

∴△DGH≌△EGC（AAS），

∴DG=EG．

（3）如圖3中，連接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．設(shè)AD=DH=x，則AH=x，HC=4﹣x，

∵HG=CG，

∴HG=HC=2﹣x，

∵OA⊥BC，OB=OC，

∴AB=AC，DB=DC，

∴∠ABC=∠ACB，∠DBO=∠DCO，

∴∠ABD=∠ACD，

∵∠CEG=∠ABD，

∴∠ACD=∠CEG，

∵DH∥CE，

∴∠HDG=∠CEG=∠DCH，

∵∠DHG=∠DHC，

∴△DHG∽△CHD，

∴，

∴，

解得x=2，

∴AH=CH=2，

∴H（2，2），

∵GH=GC，

∴G（3，1）．