(1998•廣東)如圖,四邊形ABCD是正方形,點F在CD上,點O是BF的中點,以BF為直徑的半圓與AD相切于點E.
(1)求證:點E是AD的中點;
(2)設(shè)BF=5,求正方形ABCD的邊長.
分析:(1)首先連接OE,由切線的性質(zhì),易證得OE∥AB∥DF,由于OB=OF,即可證得點E是AD的中點;
(2)首先設(shè)正方形ABCD的邊長為x,根據(jù)梯形中位線的性質(zhì),可表示出DF的長,即而表示出CF的長,由勾股定理即可求得方程:52=x2+(2x-5)2,解此方程即可求得答案.
解答:(1)證明:連接OE,
∵以BF為直徑的半圓與AD相切于點E,
∴OF⊥AD,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=90°,
∴OE∥AB∥DF,
∵OB=OF,
∴AE=DE,
即點E是AD的中點;

(2)解:設(shè)正方形ABCD的邊長為x,
則AB=BC=CD=AD=x,
∵BF=5,
∴OE=
5
2

∵OE=
1
2
(AB+DF),
∴DF=5-x,
∴CF=CD-DF=2x-5,
在Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2,
即52=x2+(2x-5)2
解得:x=4或x=0(舍去),
∴正方形ABCD的邊長為4.
點評:此題考查了切線的性質(zhì)、梯形的中位線的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度適中,注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用.
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