Question

【題目】已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C），點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，CD．

（1）如圖1，

①求證：點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上；

②直接寫(xiě)出∠BDC的度數(shù)（用含α的式子表示）為 ；

（2）如圖2，當(dāng)α=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線與直線l交于點(diǎn)E，求證：AE=BD；

（3）如圖3，當(dāng)α=90°時(shí)，記直線l與CD的交點(diǎn)為F，連接BF．將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在什么情況下線段BF的長(zhǎng)取得最大值？若AC=2a，試寫(xiě)出此時(shí)BF的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②α；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)B、O、F三點(diǎn)共線時(shí)BF最長(zhǎng)，(+)a

【解析】

（1）①由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=AC=AB，即可證點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上；

②由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度數(shù)；

（2）連接CE，由題意可證△ABC，△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得AE=BD；

（3）取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OF，BF，由三角形的三邊關(guān)系可得，當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，BF最長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求，，即可求得BF

（1）①連接AD，如圖1．

∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，

∴AC = AD．

∵AB= AC，

∴AB= AC = AD．

∴點(diǎn)B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．

②∵AD=AB=AC，

∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，

∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，

∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，

∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α

∴∠BDC=α

故答案為：α．

（2連接CE，如圖2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵∠BDC=α，

∴∠BDC=30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE=60°，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，

∴DE=CE，且∠CDE=60°

∴△CDE是等邊三角形，

∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE，

（3）如圖3，取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OF，BF，

，

F是以AC為直徑的圓上一點(diǎn)，設(shè)AC中點(diǎn)為O，

∵在△BOF中，BO+OF≥BF，

當(dāng)B、O、F三點(diǎn)共線時(shí)BF最長(zhǎng)；

如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，

∵∠BAC=90°，AB=AC=2a，

∴，∠ACB=45°，且OH⊥BC，

∴∠COH=∠HCO=45°，

∴OH=HC，

∴，

∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，AC=2a，

∴，

∴，

∴BH=3a，

∴，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，

∴∠AFC=90°，

∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴當(dāng)B、O、F三點(diǎn)共線時(shí)BF最長(zhǎng)；最大值為(+)a．