【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF為正三角形,E、F在菱形的邊BC,CD上.
(1)證明:BE=CF.
(2)當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上移動(dòng)時(shí)(△AEF保持為正三角形),請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個(gè)定值;如果變化,求出其最大值.
(3)在(2)的情況下,請(qǐng)?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個(gè)定值;如果變化,求出其最大值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)先求證AB=AC,進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形,得∠4=60°,AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF,即可求得BE=CF;
(2)根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF,故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題;
(3)當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí),邊AE最短.△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小,又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF,則△CEF的面積就會(huì)最大.
試題解析:(1)證明:連接AC,
∵∠1+∠2=60°,∠3+∠2=60°,
∴∠1=∠3,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∴△ABC、△ACD為等邊三角形
∴∠4=60°,AC=AB,
∴在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF.(ASA)
∴BE=CF.
(2)解:由(1)得△ABE≌△ACF,
則S△ABE=S△ACF.
故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,
是定值.
作AH⊥BC于H點(diǎn),
則BH=2,
S四邊形AECF=S△ABC
=
=
=;
(3)解:由“垂線段最短”可知,
當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí),邊AE最短.
故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時(shí),
正三角形AEF的面積會(huì)最小,
又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF,則△CEF的面積就會(huì)最大.
由(2)得,S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF
=﹣=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在不透明的袋子中有四張標(biāo)著數(shù)字1,2,3,4的卡片,小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲.
小明畫(huà)出樹(shù)狀圖如圖所示:
小華列出表格如下:
回答下列問(wèn)題:
(1)根據(jù)小明畫(huà)出的樹(shù)形圖分析,他的游戲規(guī)則是,隨機(jī)抽出一張卡片后 (填“放回”或“不放回”),再隨機(jī)抽出一張卡片;
(2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中①表示的有序數(shù)對(duì)為 ;
(3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,你認(rèn)為誰(shuí)獲勝的可能性大?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,甲和乙同時(shí)從學(xué)校放學(xué),兩人以各自送度勻速步行回家,甲的家在學(xué)校的正西方向,乙的家在學(xué)校的正東方向,乙家離學(xué)校的距離比甲家離學(xué)校的距離遠(yuǎn)3900米,甲準(zhǔn)備一回家就開(kāi)始做什業(yè),打開(kāi)書(shū)包時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)拿了乙的練習(xí)冊(cè).于是立即步去追乙,終于在途中追上了乙并交還了練習(xí)冊(cè),然后再以先前的速度步行回家,(甲在家中耽擱和交還作業(yè)的時(shí)間忽略不計(jì))結(jié)果甲比乙晚回到家中,如圖是兩人之間的距離y米與他們從學(xué)校出發(fā)的時(shí)間x分鐘的函數(shù)關(guān)系圖,則甲的家和乙的家相距_____米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(2,﹣1),且與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),點(diǎn)P是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與A不重合),過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸,交AC于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在題(2)的結(jié)論下,若點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)F在拋物線上,問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,求點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解本校九年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試情況,小亮在九年級(jí)隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)闃颖,分為A(100﹣90分)、B(89~80分)、C(79~60分)、D(59~0分)四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答以下問(wèn)題:
(1)這次隨機(jī)抽取的學(xué)生共有多少人?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)共有學(xué)生1200人,若分?jǐn)?shù)為80分(含80分)以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)這次九年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是的中線,點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合).過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接、.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)判斷線段、的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(1,0),P 是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn),連接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,則我們把(m°,n°)叫做點(diǎn)P 的“雙角坐標(biāo)”.例如,點(diǎn)(1,1)的“雙角坐標(biāo)”為(45°,90°).若點(diǎn)P到x軸的距離為,則m+n 的最小值為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O直徑,D為⊙O上一點(diǎn),AT 平分∠BAD交⊙O于點(diǎn) T,過(guò) T 作AD的垂線交 A D的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C。
(1)求證:CT為⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為2,CT=,求AD的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知、兩地相距1500米,甲、乙兩人分別從、兩地同時(shí)出發(fā),沿著同一條直線公路相向而行.若甲以7.5米/秒的速度騎自行車前進(jìn),乙以2.5米/秒的速度步行,甲出發(fā)1分鐘后忘記帶東西,迅速返回去。ǖ纛^時(shí)間及取東西時(shí)間不計(jì)),則在乙出發(fā)經(jīng)過(guò)__________秒兩人相距100米.
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