(2012•金東區(qū)一模)已知:如圖,直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A(8,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,16),與直線y=x相交于點(diǎn)C.P(0,t)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l垂直y軸,與直線y=x相交于點(diǎn)D,與直線y=kx+b相交于點(diǎn)E,在直線l下方作一個(gè)等腰直角三角形DEF,使DF=DE,∠EDF=90°.
(1)求直線AB的解析式和C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)F落在x軸上時(shí),求t的值;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以A,E,P,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?
分析:(1)把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入直線y=kx+b得到關(guān)于k、b二元一次方程組,求解得到k、b的值,即可得解,聯(lián)立兩直線解析式,求解即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)利用直線解析式表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo),然后求出DE的長度,再根據(jù)點(diǎn)F在x軸上,DE=DF列式計(jì)算即可得解;
(3)根據(jù)梯形的底邊平行,分①PE∥AF時(shí),點(diǎn)F在x軸上,根據(jù)(2)的結(jié)論解答,②PF∥AE時(shí),先根據(jù)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)求出DE的長度,然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線PF的解析式,然后根據(jù)平行直線的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值;③AP∥EF時(shí),分點(diǎn)P在y軸正半軸與負(fù)半軸兩種情況求出DE的長度,然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線AP、EF的解析式,然后根據(jù)平行直線的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值.
解答:解:(1)∵直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A(8,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,16),
8k+b=0
b=16
,
解得
k=-2
b=16
,
所以,直線AB的解析式為y=-2x+16,
聯(lián)立
y=x
y=-2x+16
,
解得
x=
16
3
y=
16
3

所以,C點(diǎn)坐標(biāo)為(
16
3
16
3
);

(2)根據(jù)題意,點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)都是t,
所以,-2x+16=t,
解得x=
16-t
2
,
所以,點(diǎn)D(t,t),E(
16-t
2
,t),
DE=|
16-t
2
-t|,
∵點(diǎn)F在x軸上,
∴|
16-t
2
-t|=t,
16-t
2
-t=t或
16-t
2
-t=-t,
解得t=
16
5
或t=16,
所以,t的值為
16
5
,16;

(3)①PE∥AF時(shí),點(diǎn)F在x軸上,根據(jù)(2)的結(jié)論,
t=
16
5
或16,
當(dāng)t=16時(shí),P、B、E三點(diǎn)重合,以A,E,P,F(xiàn)為頂點(diǎn)的是三角形,不符合題意舍去,
所以,t=
16
5
;

②PF∥AE時(shí),點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊,
∵D(t,t),E(
16-t
2
,t),
∴DE=
16-t
2
-t=
16-3t
2
,
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為:t-
16-3t
2
=
5t-16
2
,
∴點(diǎn)F(t,
5t-16
2
),
設(shè)直線PF的解析式為y=ex+f,
f=t
te+f=
5t-16
2

解得
e=
3t-16
2t
f=t
,
所以,直線PF的解析式為y=
3t-16
2t
x+t,
∵PF∥AE,
3t-16
2t
=-2,
解得t=
16
7
;

③AP∥EF時(shí),(i)若點(diǎn)P在y軸正半軸,則DE=t-
16-t
2
=
3t-16
2

點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為t-
3t-16
2
=
-t+16
2
,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,
-t+16
2
),
設(shè)直線EF的解析式為y=cx+d,則
16-t
2
c+d=t
tc+d=
-t+16
2
,
解得
c=-1
d=
t+16
2
,
∴直線EF的解析式為y=-x+
t+16
2
,
又∵A(8,0),P(0,t),
∴直線AP的解析式為y=-
t
8
+t,
∵AP∥EF,
∴-
t
8
=-1,
解得t=8,

(ii)若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸,則DE=
16-t
2
-t=
16-3t
2
,
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為t-
16-3t
2
=
5t-16
2

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,
5t-16
2
),
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n,則
16-t
2
m+n=t
tm+n=
5t-16
2
,
解得
m=1
n=
3t-16
2
,
∴直線EF的解析式為y=x+
3t-16
2
,
又∵A(8,0),P(0,t),
∴直線AP的解析式為y=-
t
8
+t,
∵AP∥EF,
∴-
t
8
=1,
解得t=-8,
綜上所述,t的值為
16
5
,
16
7
,8,-8.
點(diǎn)評(píng):本題是一次函數(shù)的綜合題型,主要涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,聯(lián)立兩直線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo),等腰直角三角形的性質(zhì),以及梯形的兩底邊互相平行,(3)求解思路比較復(fù)雜,且運(yùn)算量較大,要分情況討論求解.
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