Question

【題目】感知定義

在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，老師給出這樣一個(gè)新定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．

嘗試運(yùn)用

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．

①證明△ABD是“類直角三角形”；

②試問在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

類比拓展

（2）如圖2，△ABD內(nèi)接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點(diǎn)E是弧AD上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)A，D），延長(zhǎng)BE至點(diǎn)C，連結(jié)AC，且∠CAD＝∠AOD，當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí)，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②CE＝；（2）當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí)，AC的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．

②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D）,使得△ABE是“類直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構(gòu)建方程即可解決問題．

（2）分兩種情形:①如圖2中,當(dāng)∠ABC+2∠C=90°時(shí),作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接FA,FB．則點(diǎn)F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．

②如圖3中,由①可知,點(diǎn)C,A,F共線,當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí),由對(duì)稱性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．

（1）①證明:如圖1中,

∵BD是∠ABC的角平分線,

∴∠ABC＝2∠ABD,

∵∠C＝90°,

∴∠A+∠ABC＝90°,

∴∠A+2∠ABD＝90°,

∴△ABD為“類直角三角形”;

②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D）,使得△ABE是“類直角三角形”,

在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,

∴AC＝,

∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,

∴∠ABE+2∠A＝90°,

∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,

∴∠A＝∠CBE,

∴△ABC∽△BEC,

∴,

∴CE＝,

（2）∵AB是直徑,

∴∠ADB＝90°,

∵AD＝6,AB＝10,

∴BD＝,

①如圖2中,當(dāng)∠ABC+2∠C＝90°時(shí),作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接FA,FB,則點(diǎn)F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,

∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,

∴∠CAD+∠DAF＝180°,

∴C，A，F共線,

∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,

∴∠C＝∠ABF,

∴△FAB∽△FBC,

∴,即 ,

∴AC＝．

②如圖3中,由①可知,點(diǎn)C,A,F共線,當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí),由對(duì)稱性可知,BA平分∠FBC,

∴∠C+2∠ABC＝90°,

∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,

∴△DAC∽△FBC,

∴,即,

∴CD＝（AC+6）,

在Rt△ADC中,[ （ac+6）]2+62＝AC2,

∴AC＝或﹣6（舍棄）,

綜上所述,當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí),AC的長(zhǎng)為 或．