Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（﹣8，0），點B的坐標為（﹣8，6），直線BC∥x軸，交y軸于點C，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點P、Q．

（1）四邊形OABC的形狀是 ， 當α=90°時， 的值是 ．
（2）①如圖2，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時，求 的值；
②如圖3，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在BC的延長線上時，求△OPB′的面積．

（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當0°＜α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP= BQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）矩形；
（2）

解：①圖2，

∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，

∴△COP∽△A′OB′．

∴ ，即 ，

∴CP= ，BP=BC﹣CP= ．

同理△B′CQ∽△B′C′O，

∴ ，

∴

∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．

∴ ，

∴ ；

②圖3，在△OCP和△B′A′P中， ，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．

設B′P=x，

在Rt△OCP中，（8﹣x）2+62=x2，

解得x= ．

∴S△OPB′= × ×6=

（3）

解：存在這樣的點P和點Q，使BP= BQ．

點P的坐標是P1（﹣9﹣ ，6），P2（﹣ ，6）．

理由：

過點Q作QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，

∵S△POQ= PQOC，S△POQ= OPQH，

∴PQ=OP．

設BP=x，

∵BP= BQ，

∴BQ=2x，

如圖4，當點P在點B左側(cè)時，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）/span>2，

解得x1=1+ ，x2=1﹣ （不符實際，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+ ，

∴P（﹣9﹣ ，6）．

如圖5，當點P在點B右側(cè)時，

∴OP=PQ=BQ﹣BP=x，PC=8﹣x．

在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62=x2，解得x= ．

∴PC=BC﹣BP=8﹣ = ，

∴P（﹣ ，6），

綜上可知，存在點P（﹣9﹣ ，6）或（﹣ ，6），使BP= BQ．

【解析】解：（1）圖1，四邊形OA′B′C′的形狀是矩形；

∵點A的坐標為（﹣8，0），點B（﹣8，6），
∴AB∥OC，
∵BC∥x軸，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又OC⊥OA，
∴平行四邊形OABC的形狀是矩形；
當α=90°時，P與C重合，如圖1，
BP=8，BQ=BP+OC=8+6=14，
∴ ，
即是矩形的長與寬的比，則 ．
所以答案是矩形， ；