Question

（2013•歷下區(qū)一模）如圖，設(shè)直線l₂：y=-2x+8與x軸相交于點(diǎn)N，與直線l₁相交于點(diǎn)E（1，a），雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)E，且與直線l₁相交于另一點(diǎn)F（9，

2

3

）．
（1）求雙曲線解析式及直線l₁的解析式；
（2）點(diǎn)P在直線l₁上，過點(diǎn)F向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)B，交直線l₂于點(diǎn)H，過點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為點(diǎn)D，與FB交于點(diǎn)C．
①請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段PH與線段PN的差最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)以P、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AMO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得k的值；然后把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入雙曲線解析式可以求得a的值；然后根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)來求直線l₁的解析式；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P、H、N共線時(shí)，線段PH與線段PN的差最大；
②需要分類討論：△PBC∽△AMO和△PBC∽△MAO兩種情況，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)E（1，a）和點(diǎn)F（9，

2

3

），
∴

a=k 2 3 = k 9

，
解得

a=6 k=6

，
∴雙曲線的解析為：y=

6

x

，點(diǎn)E（1，6）．
設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b（k≠0）．
把點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別代入，得

k+b=6 9k+b= 2 3

，
解得

k=- 2 3 b= 20 3

，
則直線l₁的解析式為y=-

2

3

x+

20

3

；
綜上所述，雙曲線解析式及直線l₁的解析式分別是：y=

6

x

和y=-

2

3

x+

20

3

；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P、H、N共線時(shí)，線段PH與線段PN的差最大，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，即P（1，6）；
②設(shè)P（x，y）（x＞0）．
∵直線l₁的解析式為y=-

2

3

x+

20

3

，
∴AO=

20

3

，OM=10，
∴如圖，在直角△AOM中，由勾股定理得到：AM=

OA2+OM2

=

( 20 3 )2+102

=

10 13

3

．
易求PC=-

2

3

x+

18

3

．
i）當(dāng)△PBC∽△AMO時(shí)，

BC

MO

=

PC

AO

，即

x

10

=

- 2 3 x+ 18 3

20 3

，解得x=

9

2

，則y=-

2

3

×

9

2

+

20

3

=

11

3

，故P（

9

2

，

11

3

）；
ii）當(dāng)△PBC∽△MAO時(shí)，

BC

AO

=

PC

MO

，即

x

20 3

=

- 2 3 x+ 18 3

10

，解得x=

36

13

，則y=-

2

3

×

36

13

+

20

3

=

188

39

，故P（

36

13

，

188

39

）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（

9

2

，

11

3

）或（

36

13

，

188

39

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)．注意，解（2）題時(shí)，沒有明確相似三角形的對(duì)應(yīng)角（邊），一定要分類討論，考慮到所有的情況，不要漏解．