Question

27、如圖（1），在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF=BE．容易證得：CE=CF；
（1）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．試猜想GE、BE、GD三線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）運(yùn)用（1）中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下面兩題：
①如圖（2），在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，點(diǎn)E，點(diǎn)G分別是AB邊，AD邊上的動(dòng)點(diǎn)．若∠BCD=α°，∠ECG=β°，試探索當(dāng)α和β滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，圖（1）中GE、BE、GD三線(xiàn)段之間的關(guān)系仍然成立，并說(shuō)明理由．
②在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線(xiàn)y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線(xiàn)y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖（3））．設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，得出∠ECG=∠FCG，再根據(jù)△EBC≌△FDC，然后證出△ECG≌△FCG，即可得出結(jié)論；
（2）①當(dāng)α=2β時(shí)，（1）中的三角形的全等關(guān)系即可證明是成立的；
②根據(jù)（1）的證明．可以得到：AM=CN，MN=AB，據(jù)此即可證明△MNP的周長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)的2倍，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）∵DF=BE，∠FDC=∠EBC，BC=DC，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
于是有GC=GC，
∠ECG=∠FCG，
CF=CE，
于是△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．
（2）①α=2β，
延長(zhǎng)AD到F點(diǎn)，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，
則∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，
可證△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

②根據(jù)（1）的證明．可以得到：AM=CN，MN=AB．
∴p=BN+MN+BM=2AB=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，以及正方形的性質(zhì)，正確理解（1）中的證明以及結(jié)論是解題的關(guān)鍵．