Question

4．如圖，DE∥BC，且過△ABC的重心，分別與AB、AC交于點D、E，點P是線段DE上一點，CP的延長線交AB于點Q，如果$\frac{DP}{DE}$=$\frac{1}{4}$，那么S_△DPQ：S_△CPE的值是1：15．

Answer 1

分析 連接QE，由DE∥BC、DE過△ABC的重心即可得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，設(shè)DE=4m，則BC=6m，結(jié)合$\frac{DP}{DE}$=$\frac{1}{4}$即可得出DP=m，PE=3m，由△DPQ與△QPE有相同的高即可得出$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$=$\frac{DP}{PE}$=$\frac{1}{3}$，再根據(jù)DE∥BC，利用平行線的性質(zhì)即可得出∠QDP=∠QBC，結(jié)合公共角∠DQP=∠BQC即可得出△QDP∽△QBC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{QP}{QC}$=$\frac{DP}{BC}$=$\frac{1}{6}$，進(jìn)而得出$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，結(jié)合三角形的面積即可得出$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，將$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$與$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$相乘即可得出結(jié)論．

解答 解：連接QE，如圖所示．
∵DE∥BC，DE過△ABC的重心，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$．
設(shè)DE=4m，則BC=6m．
∵$\frac{DP}{DE}$=$\frac{1}{4}$，
∴DP=m，PE=3m，
∴$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$=$\frac{DP}{PE}$=$\frac{1}{3}$．
∵DE∥BC，
∴∠QDP=∠QBC，
∵∠DQP=∠BQC，
∴△QDP∽△QBC，
∴$\frac{QP}{QC}$=$\frac{DP}{BC}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{QP}{PC}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$•$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$．
故答案為：1：15．

點評 本題考查了三角形的重心、平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積找出$\frac{{S}_{△DPQ}}{{S}_{△QPE}}$=$\frac{1}{3}$、$\frac{{S}_{△QPE}}{{S}_{△CPE}}$=$\frac{1}{5}$是解題的關(guān)鍵．