Question

【題目】如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點，且AE=AB，點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度沿D→CB向終點B運動，直線EP交AD于點F，過點F作直線FG⊥DE于點G，交AB于點R.

（1）求證：AF=AR;
（2）設(shè)點P運動的時間為t秒，求當(dāng)選t為何值時，四邊形PRBC是矩形？
（3）如圖2，連接PB，請直線寫出使△PRB是等腰三角形時t的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在正方形ABCD中，AD=AB=2，

∵AE=AB，

∴AD=AE，

∴∠AED=∠ADE=45°，

又∵FG⊥DE，

∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，

∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，

∴AF=AR.

（2）

解：如圖，當(dāng)四邊形PRBC是矩形時，

則有PR//BC，

∴△EAF~△ERP，

∴ ，即： 由（1）得AF=AR，

∴ ，解得：AR=-1+ 或-1- （不合題意，舍去），

∴DP=AR=-1+ ，

∵點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度沿DCB向終點B運動，

∴t= -1（秒）.

（3）

解：若PR=PB，

過點P作PK⊥AB于K，

設(shè)FA=x，則RK= BR= （2-x），

∵△EFA~△EPK，

∴ ，

即： ，

解得：x=-3± （舍去負值）；

X=-3+ ，

∴t= .

若PB=RB，此時點P在BC上，

則△EFA~△EPB，

∴ ，

∴ ，

∴RB=BP= AB= ×2= ，

∴CP=BC-BP=2- = ，∴t=2+ = （秒）.

綜上所述，當(dāng)PR=PB時，t= ；當(dāng)PB=RB時，t= 秒.

【解析】（1）在正方形ABCD中，∠FAR=90°，需要證明∠FRA=∠AFR=45°，又因為FG⊥DE，則需要證明∠AED =45°，而AE=AB=AD，則可證得；（2）當(dāng)四邊形PRBC是矩形時，則有PR//BC，△EAF~△ERP， ，由（1）得AF=AR，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可解得AF，AR，又因為DP=AR所以可求得；（3）分類討論，當(dāng)點P在CD時，PB>BC=2，PR>2,RB<2,則只有PR=PB這種可能，過P作PK⊥AB于K，由（1）同理可得△EFA~△EPK，根據(jù)相似的性質(zhì)解出AR邊，從而解得時間t；當(dāng)點P在BC時，PB<2，RB<2,則只有PB=RB這種情況，還是運用相似解出答案.
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．